Funksjonsdrøfting av tredjegradsfunksjon (s2 v15)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x + 4 \quad , \quad D_f = \mathbb{R}

Vis at $x = -1$ er et nullpunkt til $f$ . Bestem eventuelt andre nullpunkter.

Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Fasit

$x = -1$ (dobbelt nullpunkt) og $x = -4$

Toppunkt $(-3,\ 4)$ , bunnpunkt $(-1,\ 0)$

Vendepunkt $(-2,\ 2)$

Se løsningsforslag.

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x = -1$ i $f(x)$ :

f(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) + 4 = -1 + 6 - 9 + 4 = 0

Siden $f(-1) = 0$ , er $x = -1$ et nullpunkt.

Vi utfører polynomdivisjon med $(x + 1)$ :

f(x) = (x+1)(x^2 + 5x + 4)

Andregradsuttrykket faktoriseres videre:

x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4)

Dermed er

f(x) = (x+1)^2(x+4)

Nullpunktene er $x = -1$ (dobbelt) og $x = -4$ .

Vi deriverer:

f'(x) = 3x^2 + 12x + 9 = 3(x^2 + 4x + 3) = 3(x+1)(x+3)

$f'(x) = 0$ gir $x = -1$ og $x = -3$ .

Fortegnslinjen til $f'(x)$ :

Intervall	$x < -3$	$x = -3$	$-3 < x < -1$	$x = -1$	$x > -1$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	stigende	topp	synkende	bunn	stigende

Toppunkt: $f(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) + 4 = -27 + 54 - 27 + 4 = 4$

\text{Toppunkt: } (-3,\ 4)

Bunnpunkt: $f(-1) = 0$ (allerede beregnet)

\text{Bunnpunkt: } (-1,\ 0)

Vi deriverer på nytt:

f''(x) = 6x + 12

$f''(x) = 0$ gir $x = -2$ .

Vi sjekker at $f''$ skifter fortegn i $x = -2$ : $f''(x) < 0$ for $x < -2$ og $f''(x) > 0$ for $x > -2$ , så $x = -2$ er et vendepunkt.

f(-2) = (-2)^3 + 6(-2)^2 + 9(-2) + 4 = -8 + 24 - 18 + 4 = 2

\text{Vendepunkt: } (-2,\ 2)

Grafen har følgende egenskaper:

Nullpunkter i $x = -4$ og $x = -1$ (dobbelt — grafen tangerer $x$ -aksen i $(-1, 0)$ )
Toppunkt $(-3, 4)$
Bunnpunkt $(-1, 0)$
Vendepunkt $(-2, 2)$
Stigende for $x < -3$ , synkende for $-3 < x < -1$ , stigende for $x > -1$
Som tredjegradsfunksjon med positiv ledende koeffisient går grafen fra $-\infty$ til $+\infty$

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter