Funksjonsdrøfting av fjerdegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2}, D_{f} = ℝ

Bestem nullpunktene til $f$ .

Bestem $f^{'} (x)$ . Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Tegn en skisse av grafen til $f$ for $x \in ⟨ - 2, 2 ⟩$ .

Fasit

$x = 0, x = - \sqrt{2}, x = \sqrt{2}$

$f^{'} (x) = 12 x^{3} - 12 x$ . Toppunkt $(0,0)$ , bunnpunkter $(- 1, - 3)$ og $(1, - 3)$ .

Se skisse i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner nullpunktene ved å faktorisere $f (x)$ og bruke nullproduktsetningen.

f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2} = 3 x^{2} (x^{2} - 2) = 0

Dette gir

3 x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0

x^{2} - 2 = 0 \Rightarrow x^{2} = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}

Nullpunktene er $x = 0$ (dobbelt nullpunkt), $x = - \sqrt{2}$ og $x = \sqrt{2}$ .

Vi deriverer $f$ ledd for ledd.

f^{'} (x) = 12 x^{3} - 12 x

Topp- og bunnpunkter finner vi der $f^{'} (x) = 0$ .

f^{'} (x) = 12 x^{3} - 12 x = 12 x (x^{2} - 1) = 12 x (x - 1) (x + 1) = 0

Dette gir $x = 0$ , $x = 1$ eller $x = - 1$ .

For å avgjøre type ekstremalpunkt bruker vi $f^{''} (x)$ .

f^{''} (x) = 36 x^{2} - 12

f^{''} (0) = - 12 < 0 \Rightarrow toppunkt ved x = 0

f^{''} (1) = 36 - 12 = 24 > 0 \Rightarrow bunnpunkt ved x = 1

f^{''} (- 1) = 36 - 12 = 24 > 0 \Rightarrow bunnpunkt ved x = - 1

Vi setter inn $x$ -verdiene i $f (x)$ .

f (0) = 0, f (1) = 3 - 6 = - 3, f (- 1) = 3 - 6 = - 3

Grafen har toppunkt $(0,0)$ og bunnpunkter $(- 1, - 3)$ og $(1, - 3)$ .

Vi bruker nullpunktene fra a) og topp-/bunnpunktene fra b) til å skissere grafen for $x \in ⟨ - 2, 2 ⟩$ :

Skisse av grafen til f med nullpunkter og topp-/bunnpunkter

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2014, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Nullpunkter, Graf

Innstillinger