Grafen skjærer $x$-aksen der $f(x)=0$:

Siden $e^x>0$ for alle $x$, må $x-1=0$, altså $x=1$. Skjæringspunktet med $x$-aksen er $\underline{\underline{(1,0)}}$.

Grafen skjærer $y$-aksen der $x=0$:

Skjæringspunktet med $y$-aksen er $\underline{\underline{(0,-1)}}$.

Vi deriverer $f(x)=(x-1)\cdot e^x$ med produktregelen:

Vi setter $f^{\prime }(x)=0$:

Siden $e^x>0$, må $x=0$.

Vi undersøker fortegnet til $f^{\prime }(x)=x\cdot e^x$:

• For $x<0$: $f^{\prime }(x)<0$ (fallende)
• For $x>0$: $f^{\prime }(x)>0$ (voksende)

Dermed har $f$ et bunnpunkt i $x=0$:

Bunnpunktet er $\underline{\underline{(0,-1)}}$. Siden $f^{\prime }$ bare skifter fortegn én gang på det oppgitte intervallet $⟨-3,2⟩$, har grafen ikke noe toppunkt.

Grafen synker raskest der den deriverte $f^{\prime }$ har sin minste (mest negative) verdi, altså der $f^{\prime \prime }(x)=0$ og $f^{\prime \prime }$ skifter fra negativ til positiv.

Vi deriverer $f^{\prime }(x)=x\cdot e^x$ på nytt:

Vi setter $f^{\prime \prime }(x)=0$:

Fortegnet til $f^{\prime \prime }(x)$:

• For $x<-1$: $f^{\prime \prime }(x)<0$ ($f^{\prime }$ avtar)
• For $x>-1$: $f^{\prime \prime }(x)>0$ ($f^{\prime }$ øker)

Dette bekrefter at $f^{\prime }$ har et minimum i $x=-1$, altså at grafen til $f$ synker raskest der.

Vi finner $y$-koordinaten:

Punktet der grafen synker raskest, er $\underline{\underline{(-1,-\frac{2}{e})}}$.