Vi setter $f(x)=0$:

Siden $3^u=3^0$ gir $u=0$, får vi:

Dette gir $x=0$ eller $x^2=3$, altså $x=\pm \sqrt{3}$.

Nullpunktene er $x=-\sqrt{3}$, $x=0$ og $x=\sqrt{3}$.

Grafen til $f$ er tegnet med GeoGebra:

Hvorfor ligger grafen over $y=-1$?

Eksponenten $u=\frac{1}{3}(x^3-3x)$ er et reelt tall for alle $x$. For enhver reell verdi av $u$ gjelder $3^u>0$. Dermed er alltid

Grafen til $f$ ligger derfor alltid strengt over linjen $y=-1$.

Vi bruker kjerneregelen. La $u=\frac{1}{3}(x^3-3x)$, slik at $f(x)=3^u-1$.

Den ytre deriverte av $3^u$ er $\ln 3\cdot 3^u$, og den indre deriverte er:

Ved kjerneregelen:

Vi setter $f^{\prime }(x)=0$. Siden $\ln 3>0$ og $3^{\frac{1}{3}(x^3-3x)}>0$ for alle $x$, er de to siste faktorene alltid positive. Dermed er

Fortegnslinje for $f^{\prime }(x)$:

Grafen vokser for $x<-1$ og $x>1$, og avtar for $-1<x<1$.

Toppunkt ved $x=-1$:

$\underline{\underline{\text{Toppunkt: }(-1,3^{\frac{2}{3}}-1)\approx (-1;\mathrm{1,08})}}$

Bunnpunkt ved $x=1$:

$\underline{\underline{\text{Bunnpunkt: }(1,3^{-\frac{2}{3}}-1)\approx (1;-\mathrm{0,52})}}$

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne integralet og finne $a$.

Vi prøver $a\approx \mathrm{2,2272}$ og kontrollerer:

$\underline{\underline{a\approx \mathrm{2,23}}}$