Funksjonsdrøfting av eksponentialfunksjon med kjerneregel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 3^{\frac{1}{3}(x^3 - 3x)} - 1, \qquad D_f = \mathbb{R}

Bestem nullpunktene til $f$ ved regning.

Tegn grafen til $f$ . Forklar hvorfor grafen til $f$ ligger over linjen $y = -1$ .

Bruk kjerneregelen og vis ved regning at

f'(x) = (x^2 - 1) \cdot \ln 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}(x^3 - 3x)}

Bestem ved regning for hvilke verdier av $x$ grafen til $f$ vokser, og for hvilke verdier av $x$ grafen avtar. Bestem ved regning topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bruk digitale hjelpemidler til å finne en positiv verdi for $a$ slik at

\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0

Fasit

$x = -\sqrt{3}$ , $x = 0$ og $x = \sqrt{3}$

Se graf og forklaring under.

Se utregning under.

Toppunkt i $\left(-1,\; 3^{\frac{2}{3}}-1\right)$ , bunnpunkt i $\left(1,\; 3^{-\frac{2}{3}}-1\right)$ .

$\underline{\underline{a \approx 2{,}23}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $f(x) = 0$ :

3^{\frac{1}{3}(x^3 - 3x)} - 1 = 0

3^{\frac{1}{3}(x^3 - 3x)} = 1 = 3^0

Siden $3^u = 3^0$ gir $u = 0$ , får vi:

\frac{1}{3}(x^3 - 3x) = 0

x^3 - 3x = 0

x(x^2 - 3) = 0

Dette gir $x = 0$ eller $x^2 = 3$ , altså $x = \pm\sqrt{3}$ .

Nullpunktene er $x = -\sqrt{3}$ , $x = 0$ og $x = \sqrt{3}$ .

Grafen til $f$ er tegnet med GeoGebra:

Graf av f(x)

Hvorfor ligger grafen over $y = -1$ ?

Eksponenten $u = \frac{1}{3}(x^3 - 3x)$ er et reelt tall for alle $x$ . For enhver reell verdi av $u$ gjelder $3^u > 0$ . Dermed er alltid

f(x) = 3^u - 1 > 0 - 1 = -1

Grafen til $f$ ligger derfor alltid strengt over linjen $y = -1$ .

Vi bruker kjerneregelen. La $u = \frac{1}{3}(x^3 - 3x)$ , slik at $f(x) = 3^u - 1$ .

Den ytre deriverte av $3^u$ er $\ln 3 \cdot 3^u$ , og den indre deriverte er:

u' = \frac{1}{3}(3x^2 - 3) = x^2 - 1

Ved kjerneregelen:

f'(x) = \ln 3 \cdot 3^u \cdot u' = \ln 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}(x^3-3x)} \cdot (x^2 - 1)

\boxed{f'(x) = (x^2 - 1) \cdot \ln 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}(x^3 - 3x)}}

Vi setter $f'(x) = 0$ . Siden $\ln 3 > 0$ og $3^{\frac{1}{3}(x^3-3x)} > 0$ for alle $x$ , er de to siste faktorene alltid positive. Dermed er

f'(x) = 0 \iff x^2 - 1 = 0 \iff x = \pm 1

Fortegnslinje for $f'(x)$ :

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$x^2-1$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$\nearrow$	topp	$\searrow$	bunn	$\nearrow$

Grafen vokser for $x < -1$ og $x > 1$ , og avtar for $-1 < x < 1$ .

Toppunkt ved $x = -1$ :

f(-1) = 3^{\frac{1}{3}((-1)^3 - 3\cdot(-1))} - 1 = 3^{\frac{1}{3}\cdot 2} - 1 = 3^{\frac{2}{3}} - 1 \approx 1{,}08

$\underline{\underline{\text{Toppunkt: } \left(-1,\; 3^{\frac{2}{3}}-1\right) \approx (-1;\; 1{,}08)}}$

Bunnpunkt ved $x = 1$ :

f(1) = 3^{\frac{1}{3}(1 - 3)} - 1 = 3^{-\frac{2}{3}} - 1 \approx -0{,}52

$\underline{\underline{\text{Bunnpunkt: } \left(1,\; 3^{-\frac{2}{3}}-1\right) \approx (1;\; -0{,}52)}}$

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne integralet og finne $a$ .

GeoGebra CAS – integralbetingelse

Vi prøver $a \approx 2{,}2272$ og kontrollerer:

\int_0^{2{,}2272} f(x)\,\mathrm{d}x \approx 0{,}00006 \approx 0

$\underline{\underline{a \approx 2{,}23}}$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 11
Temaer: Funksjonsdrøfting, Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Bestemt integral, Graf

Funksjonsdrøfting av eksponentialfunksjon med kjerneregel

Sync på tvers av enheter

Funksjonsdrøfting av eksponentialfunksjon med kjerneregel

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave