For at det å tippe en enkeltrekke skal kunne sees på som et binomisk forsøk med $n=12$ og $p={\displaystyle \frac{1}{3}}$, må disse forutsetningene være oppfylt:

• Forsøket består av $n=12$ uavhengige delforsøk (kampene må ikke påvirke hverandre — resultatet i én kamp må ikke gi informasjon om resultatet i en annen).
• Hvert delforsøk har bare to mulige utfall: suksess («rett tippet») eller fiasko («feil tippet»). Siden hver kamp egentlig har tre utfall (H, U, B), må vi slå sammen «de to gale utfallene» til ett utfall (fiasko).
• Sannsynligheten for suksess, $p$, må være den samme i alle 12 kampene, nemlig $p={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Dette forutsetter at vi tipper helt tilfeldig (uten noen kunnskap om lagene), slik at hvert av de tre utfallene H, U og B er like sannsynlig i hver kamp.

Vi lar $X$ være antall rette resultater av de 12 kampene. Da er $X$ binomisk fordelt med $n=12$ og $p={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Sannsynligheten for gevinst (minst 10 rette) er

Vi regner ut summen i GeoGebra CAS.

Fra utklippet ser vi at

Sannsynligheten for å få gevinst på en enkeltrekke er altså svært liten, omtrent $\mathrm{0,05}\%$.

Vi regner ut $P(X=0)$ og $P(X=12)$ direkte fra punktsannsynlighetsformelen for binomisk fordeling, se samme utklipp som over.

Vi ser at $P(X=0)\ne P(X=12)$ — faktisk er $P(X=0)$ hele $4096$ ganger så stor som $P(X=12)$. Tipperen tar altså feil.

Hvorfor er de så forskjellige? Legg merke til at $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{12}{0}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{12}{12}\right)=1$, så det er ikke antall kombinasjoner som gir forskjellen. Forskjellen kommer fra selve sannsynlighetsfaktorene:

Siden $p={\displaystyle \frac{1}{3}}<{\displaystyle \frac{2}{3}}=1-p$, er sannsynligheten for å bomme på en kamp ($\frac{2}{3}$) større enn sannsynligheten for å tippe rett ($\frac{1}{3}$). Å bomme på alle 12 kampene er dermed vesentlig mer sannsynlig enn å tippe alle 12 kampene rett — det er lettere å ha “uflaks” 12 ganger på rad enn å ha “flaks” 12 ganger på rad, når sjansen for suksess i hver kamp er mindre enn sjansen for å mislykkes.

Vi skal finne $p$ slik at $P(X\ge 10)={\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}$, der $X$ nå er binomisk fordelt med $n=12$ og ukjent $p$.

Siden $p={\displaystyle \frac{1}{5}}$ krever mye høyere treffsikkerhet enn $p={\displaystyle \frac{1}{3}}$ (som ga en svært liten sannsynlighet for gevinst, se b), må $p$ være atskillig større enn ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. Vi prøver oss fram med ulike verdier av $p$ i GeoGebra CAS:

Verdien $p=\mathrm{0,676}$ gir $P(X\ge 10)\approx \mathrm{0,1996}$, som er svært nær $\mathrm{0,2}$. Vi konkluderer med

Tippeeksperten må altså i gjennomsnitt tippe riktig resultat på omtrent $\mathrm{67,6}\%$ av kampene for å få gevinst på hver femte enkeltrekke.