Forventningsverdi og varians fra graf av normalfordeling

Normalfordelingskurve med verdiene 173 og 183 markert på tallinjen. De to halene av kurven, til venstre for 173 og til høyre for 183, er tegnet med tykkere strek.

I en gruppe elever er høyden tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi $\mu$ og standardavvik $\sigma$ .

I denne fordelingen er 10 % av elevene lavere enn 173 cm og 10 % er høyere enn 183 cm.

Bestem $\mu$ .

Hvor mange prosent av elevene er lavere enn 183 cm.

Bestem $\sigma$

Fasit

178 cm

90 %

3,9 cm

Løsningsforslag

Normalfordelingen er symmetrisk om forventningsverdien $\mu$ . Vi vet at 10 % er lavere enn 173 cm og 10 % er høyere enn 183 cm. Siden begge halene har like stor andel (10 %), må $\mu$ ligge midt mellom 173 og 183:

\mu = \frac{173 + 183}{2} = \frac{356}{2} = \mathbf{\underline{\underline{178 \, \mathrm{cm}}}}

Vi bruker komplementregelen. Siden 10 % er høyere enn 183 cm, er de resterende 90 % lavere enn 183 cm:

P(X < 183) = 1 - P(X > 183) = 1 - 0{,}10 = \mathbf{\underline{\underline{0{,}90 = 90 \,\%}}}

Vi vet at $P(X < 173) = 0{,}10$ . Vi standardiserer ved å innføre den standardnormalfordelte variabelen $Z$ :

P(X < 173) = P\!\left(Z < \frac{173 - 178}{\sigma}\right) = P\!\left(Z < \frac{-5}{\sigma}\right) = 0{,}10

Fra normalfordelingstabellen finner vi $z$ -verdien der $\Phi(z) = 0{,}10$ . Vi ser at $\Phi(-1{,}28) \approx 0{,}10$ , altså:

\frac{-5}{\sigma} = -1{,}28

\sigma = \frac{5}{1{,}28} \approx \mathbf{\underline{\underline{3{,}9 \, \mathrm{cm}}}}

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Normalfordeling, Standard normalfordeling
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen

Forventningsverdi og varians fra graf av normalfordeling

Sync på tvers av enheter

Forventningsverdi og varians fra graf av normalfordeling

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave