Vi deriverer $f(x)=x^3-6x^2+9x$ ledd for ledd:

Vi faktoriserer $f^{\prime }(x)$ for å finne nullpunktene:

Nullpunktene til $f^{\prime }(x)$ er dermed $x=1$ og $x=3$.

For å bestemme fortegnet i hvert intervall setter vi inn en testverdi:

• $x<1$, f.eks. $x=0$: $f^{\prime }(0)=3(-1)(-3)=9>0$
• $1<x<3$, f.eks. $x=2$: $f^{\prime }(2)=3(1)(-1)=-3<0$
• $x>3$, f.eks. $x=4$: $f^{\prime }(4)=3(3)(1)=9>0$

Dette gir fortegnslinjen:

Siden $f^{\prime }(x)$ skifter fra positiv til negativ i $x=1$, har $f$ et toppunkt der. Siden $f^{\prime }(x)$ skifter fra negativ til positiv i $x=3$, har $f$ et bunnpunkt der.

Funksjonsverdiene i disse punktene:

Dette gir toppunkt $\underline{\underline{(1,4)}}$ og bunnpunkt $\underline{\underline{(3,0)}}$.

Vi merker oss også at $f(0)=0$, så grafen går gjennom origo, og at $f(x)=x{(x-3)}^2$ har dobbel rot i $x=3$ — grafen tangerer $x$-aksen der (stemmer med at $(\mathrm{3,0})$ er bunnpunkt). Dette gir følgende skisse av grafen: