Forenkling med potenser, brøk og logaritmer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{16^{2} \cdot 27^{3}}{72^{2} \cdot 12}

\frac{x - 2}{x - 1} - \frac{x}{x + 1} - \frac{2 x}{x^{2} - 1}

\lg (\frac{2}{x^{2}}) + \lg (2 x^{2}) + \lg x - \lg (4 x)

Fasit

$81$

$\frac{- 2}{x - 1}$

$0$

LøsningsforslagKI-generert

Vi primtallsfaktoriserer alle tallene: $16 = 2^{4}$ , $27 = 3^{3}$ , $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ og $12 = 2^{2} \cdot 3$ .

\frac{16^{2} \cdot 27^{3}}{72^{2} \cdot 12} = \frac{{(2^{4})}^{2} \cdot {(3^{3})}^{3}}{{(2^{3} \cdot 3^{2})}^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3} = \frac{2^{8} \cdot 3^{9}}{2^{6} \cdot 3^{4} \cdot 2^{2} \cdot 3}

Vi samler faktorene i nevner.

= \frac{2^{8} \cdot 3^{9}}{2^{8} \cdot 3^{5}} = 3^{9 - 5} = 3^{4} = 81

Vi merker oss at $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ , så felles nevner er $(x - 1) (x + 1)$ .

\frac{x - 2}{x - 1} - \frac{x}{x + 1} - \frac{2 x}{x^{2} - 1} = \frac{(x - 2) (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{x (x - 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{2 x}{(x - 1) (x + 1)}

Vi ganger ut telleren i de to første brøkene.

(x - 2) (x + 1) = x^{2} - x - 2 x (x - 1) = x^{2} - x

Vi setter alt over felles brøkstrek.

= \frac{(x^{2} - x - 2) - (x^{2} - x) - 2 x}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{- 2 - 2 x}{(x - 1) (x + 1)}

Vi faktoriserer telleren og forkorter med $(x + 1)$ .

= \frac{- 2 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{- 2}{x - 1}

Vi bruker at $\lg a + \lg b = \lg (a b)$ og $\lg a - \lg b = \lg (\frac{a}{b})$ , og samler alt under én logaritme.

\lg (\frac{2}{x^{2}}) + \lg (2 x^{2}) + \lg x - \lg (4 x) = \lg (\frac{\frac{2}{x^{2}} \cdot 2 x^{2} \cdot x}{4 x})

Vi forenkler brøken inni logaritmen.

\frac{2}{x^{2}} \cdot 2 x^{2} \cdot x = 4 x \Rightarrow \frac{4 x}{4 x} = 1

\lg (1) = 0

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2019, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Potensregning, Brøk, Logaritmer

Innstillinger