Forenkle potens- og logaritmeuttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{2 a^{7} {(a^{- 1} b^{2})}^{3}}{{(2 a b)}^{2}}

\frac{2 x}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}

4 \lg (2 x) - \lg (x^{2}) - 2 \lg (\frac{x}{2})

Fasit

$\frac{a^{2} b^{4}}{2}$

$\frac{1}{x + 1}$

$\lg 64$

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner ut parentesen først ved å bruke potensreglene ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{2 a^{7} {(a^{- 1} b^{2})}^{3}}{{(2 a b)}^{2}}

{(a^{- 1} b^{2})}^{3} = a^{- 3} b^{6} {(2 a b)}^{2} = 4 a^{2} b^{2}

Setter vi dette inn, får vi

\frac{2 a^{7} \cdot a^{- 3} b^{6}}{4 a^{2} b^{2}} = \frac{2 a^{4} b^{6}}{4 a^{2} b^{2}}

Vi forkorter tallene med $2$ og bruker $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ .

= \frac{a^{4 - 2} b^{6 - 2}}{2}

= \frac{a^{2} b^{4}}{2}

Vi faktoriserer nevneren i det første leddet: $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ .

\frac{2 x}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1} = \frac{2 x}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{1}{x - 1}

Fellesnevneren er $(x - 1) (x + 1)$ , så vi utvider det andre leddet med $(x + 1)$ .

= \frac{2 x}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{2 x - (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)}

= \frac{x - 1}{(x - 1) (x + 1)}

Vi forkorter med $(x - 1)$ , forutsatt $x \neq 1$ .

= \frac{1}{x + 1}, x \neq \pm 1

Vi bruker logaritmeregelen $n \lg (a) = \lg (a^{n})$ på hvert ledd.

4 \lg (2 x) - \lg (x^{2}) - 2 \lg (\frac{x}{2}) = \lg ({(2 x)}^{4}) - \lg (x^{2}) - \lg ({(\frac{x}{2})}^{2})

= \lg (16 x^{4}) - \lg (x^{2}) - \lg (\frac{x^{2}}{4})

Vi bruker $\lg (a) - \lg (b) = \lg (\frac{a}{b})$ og slår sammen ledd for ledd.

= \lg (\frac{16 x^{4}}{x^{2} \cdot \frac{x^{2}}{4}}) = \lg (\frac{16 x^{4}}{\frac{x^{4}}{4}}) = \lg (16 x^{4} \cdot \frac{4}{x^{4}})

$x^{4}$ forkortes bort, og uttrykket blir uavhengig av $x$ (forutsatt $x > 0$ ).

= \lg 64

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2017, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Potensregning, Logaritmer, Rasjonale uttrykk

Innstillinger