Folketall i et område

En gruppe statistikere har sett på hvordan folketallet i et område har endret seg siden 1960, og laget en modell $F$ gitt ved

F(x) = \frac{1}{1000} \cdot \left(0{,}027x^3 - 5{,}8x^2 + 220x + 7900\right), \quad x \in [0, 80]

for folketallet $F(x)$ tusen innbyggere i området $x$ år etter 1960.

Vis hvordan du på to ulike måter kan bestemme når folketallet var høyest ifølge modellen.

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(30, F(30))$ og $(70, F(70))$ . Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.

Når vil folketallet avta raskest ifølge modellen?

Fasit

Folketallet var høyest etter $\underline{\underline{x \approx 22{,}5 \text{~år (år 1982/1983)}}}$ , med $\underline{\underline{F(22{,}5) \approx 10{,}22 \text{~tusen innbyggere}}}$ .

Stigningstallet er $\underline{\underline{-0{,}1467 \text{~tusen innbyggere per år} \approx -147 \mathrm{~innb/år}}}$ .

Folketallet avtar raskest etter $\underline{\underline{x \approx 71{,}6 \text{~år (rundt år 2031/2032)}}}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Graf for Folketall i et område

CAS-utregning

Vi skal finne når $F(x)$ har sitt maksimum for $x \in [0, 80]$ .

Metode 1 – grafisk (toppunkt):

Vi plotter $F(x)$ i GeoGebra og bruker verktøyet for å finne toppunktet. Grafen viser at toppunktet ligger ved $x \approx 22{,}5$ , se Topp i grafen.

Metode 2 – $F'(x) = 0$ og fortegnstest:

Vi deriverer:

F'(x) = \frac{1}{1000}\left(0{,}081x^2 - 11{,}6x + 220\right)

Vi løser $F'(x) = 0$ i CAS (linje 4) og får to løsninger. Den ene er $x \approx 22{,}5$ (innenfor domenet $[0, 80]$ ) og den andre er $x \approx 120{,}7$ (utenfor domenet).

Vi sjekker med andrederiverte (linje 3):

F''(x) = \frac{1}{1000}\left(0{,}162x - 11{,}6\right)

F''(22{,}5) = \frac{1}{1000}(0{,}162 \cdot 22{,}5 - 11{,}6) \approx \frac{1}{1000}(3{,}645 - 11{,}6) < 0

Siden $F''(22{,}5) < 0$ , er $x \approx 22{,}5$ et toppunkt.

Funksjonsverdi (linje 5):

F(22{,}5) = \frac{654163}{64000} \approx 10{,}22 \text{~tusen innbyggere}

Folkretallet var høyest etter omtrent $22{,}5$ år, det vil si rundt 1982/1983, med ca. 10 220 innbyggere.

Vi beregner stigningstallet til sekanten gjennom $(30, F(30))$ og $(70, F(70))$ (se CAS linje 6–8 og sekantlinjen sek i grafen):

F(30) = \frac{10009}{1000} = 10{,}009 \quad \text{og} \quad F(70) = \frac{4141}{1000} = 4{,}141

a = \frac{F(70) - F(30)}{70 - 30} = \frac{4{,}141 - 10{,}009}{40} = \frac{-5{,}868}{40} = -\frac{1467}{10000} \approx -0{,}1467

Stigningstallet er $\approx -0{,}1467$ tusen innbyggere per år.

Praktisk tolkning: Fra 1990 ( $x = 30$ ) til 2030 ( $x = 70$ ) avtok folketallet i gjennomsnitt med omtrent $\mathbf{147}$ innbyggere per år.

Folketallet avtar raskest der $F'(x)$ er mest negativ. Det skjer i vendepunktet til $F$ , altså der $F''(x) = 0$ .

F''(x) = \frac{1}{1000}(0{,}162x - 11{,}6) = 0

Vi løser i CAS (linje 9):

x = \frac{5800}{81} \approx 71{,}6

Momentan vekstfart i dette punktet (linje 10):

F'(71{,}6) = -\frac{1220679}{6250000} \approx -0{,}1953 \text{~tusen innbyggere per år} \approx -195 \mathrm{~innb/år}

$x \approx 71{,}6$ svarer til år $1960 + 71{,}6 \approx 2031/2032$ , se vendepunktet Vend i grafen.

Ifølge modellen vil folketallet avta raskest rundt år 2031/2032, med en nedgang på ca. 195 innbyggere per år.

Sensorveiledning

1 poeng for hver metode med riktig svar.

1 poeng for riktig stigningstall.

1 poeng for en riktig praktisk tolkning av stigningstallet med riktig enhet.

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: modellering, derivasjon, gjennomsnittlig vekstfart
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige