Fjerdegradspolynom med faktorer

Del 1 · oppgave 3
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Fjerdegradspolynom med faktorer

Et polynom QQ er gitt ved

Q(x)=x4+ax3+bx2+cx−12Q(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx - 12

Du får oppgitt at (x+1)(x + 1), (x−1)(x - 1) og (x−2)(x - 2) er faktorer i Q(x)Q(x).

Vis at dette gir likningssystemet

a−b+c=−11a - b + c = -11 a+b+c=11a + b + c = 11 8a+4b+2c=−48a + 4b + 2c = -4

Bestem aa, bb og cc.

Fasit

Se løsningsforslag

a=−8a = -8, b=11b = 11, c=8c = 8

LøsningsforslagKI-generert

Siden (x+1)(x + 1), (x−1)(x - 1) og (x−2)(x - 2) er faktorer i Q(x)Q(x), vet vi at Q(−1)=0Q(-1) = 0, Q(1)=0Q(1) = 0 og Q(2)=0Q(2) = 0.

Q(−1)=0Q(-1) = 0:

(−1)4+a(−1)3+b(−1)2+c(−1)−12=0(-1)^4 + a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) - 12 = 0 1−a+b−c−12=01 - a + b - c - 12 = 0 a−b+c=−11a - b + c = -11

Q(1)=0Q(1) = 0:

1+a+b+c−12=01 + a + b + c - 12 = 0 a+b+c=11a + b + c = 11

Q(2)=0Q(2) = 0:

16+8a+4b+2c−12=016 + 8a + 4b + 2c - 12 = 0 8a+4b+2c=−48a + 4b + 2c = -4

Fra likning 1 og 2:

(a+b+c)−(a−b+c)=11−(−11)(a + b + c) - (a - b + c) = 11 - (-11) 2b=22  ⟹  b=112b = 22 \implies b = 11

Setter b=11b = 11 inn i likning 1: a+c=−11+11=0a + c = -11 + 11 = 0, altså c=−ac = -a.

Setter b=11b = 11 og c=−ac = -a inn i likning 3:

8a+44−2a=−4  ⟹  6a=−48  ⟹  a=−88a + 44 - 2a = -4 \implies 6a = -48 \implies a = -8

Da er c=−(−8)=8c = -(-8) = 8.

a=−8,b=11,c=8‾‾\underline{\underline{a = -8, \quad b = 11, \quad c = 8}}
Oppgavedata
Poeng
4
Temaer
polynomdivisjon, likningssystem
Kompetansemål
  • Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon