Fjerdegradsfunksjon med tre betingelser og CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + 1, D_{f} = ℝ

Om denne funksjonen vet vi at

$f$ har nullpunkt i $x = 1$
$x = 2$ er $x$ -koordinaten til vendepunktet på grafen til $f$
Grafen til $f$ går gjennom punktet $(3, 4)$

For hånd

Sett opp tre likninger som svarer til opplysningene ovenfor.

Kalkulator

Bruk CAS til å bestemme konstantene $a$ , $b$ og $c$ .

Fasit

$a + b + c = - 2$ , $6 a + b = - 24$ , $9 a + 3 b + c = - 26$

$a = - 6, b = 12, c = - 8$

LøsningsforslagKI-generert

Vi trenger den dobbeltderiverte av $f$ for å bruke opplysningen om vendepunktet:

f^{'} (x) = 4 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c f^{''} (x) = 12 x^{2} + 6 a x + 2 b

Nullpunkt i $x = 1$ : $f (1) = 0$ gir

1^{4} + a \cdot 1^{3} + b \cdot 1^{2} + c \cdot 1 + 1 = 0 \Rightarrow a + b + c = - 2

Vendepunkt i $x = 2$ : i et vendepunkt er $f^{''} (x) = 0$ , så $f^{''} (2) = 0$ gir

12 \cdot 2^{2} + 6 a \cdot 2 + 2 b = 0 \Rightarrow 48 + 12 a + 2 b = 0 \Rightarrow 6 a + b = - 24

Grafen går gjennom $(3,4)$ : $f (3) = 4$ gir

3^{4} + a \cdot 3^{3} + b \cdot 3^{2} + c \cdot 3 + 1 = 4 \Rightarrow 27 a + 9 b + 3 c = - 78 \Rightarrow 9 a + 3 b + c = - 26

Dette gir likningssystemet

{\begin{matrix} a + b + c = - 2 \\ 6 a + b = - 24 \\ 9 a + 3 b + c = - 26 \end{matrix}

Likningssystemet fra a) løses med CAS:

Løs ({a + b + c = - 2, 6 a + b = - 24, 9 a + 3 b + c = - 26}, {a, b, c})

CAS-løsning av likningssystemet

CAS gir $a = - 6$ , $b = 12$ og $c = - 8$ , altså

a = - 6, b = 12, c = - 8

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som definerer $f (x)$ og deretter skriver $f (1) = 0$ , $f^{''} (2) = 0$ og $f (3) = 4$ i CAS må få full uttelling. Kandidater som kun skriver $f (1) = 0$ , $f^{''} (2) = 0$ og $f (3) = 4$ må få noe uttelling.

Dersom CAS ikke er brukt, gis maksimalt 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2015, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjoner, CAS, Derivasjon, Likningssystem

Fjerdegradsfunksjon med tre betingelser og CAS

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Fjerdegradsfunksjon med tre betingelser og CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Fjerdegradsfunksjon med tre betingelser og CAS

Fjerdegradsfunksjon med tre betingelser og CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer