Fiskepopulasjon og logistisk modell

Forskere har registrert en ny fiskeart i en innsjø. I tabellen nedenfor ser du hvor mange fisk av arten det var i innsjøen noen måneder etter at arten først ble registrert.

Måneder etter første registrering	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Antall tusen fisk	1	2,5	5,5	9	14	22	32	45	60

Fiskepopulasjonen kan beskrives med en modell på formen

A(t) = A_0 \cdot k^t

der $A(t)$ er antall tusen fisk $t$ måneder etter første registrering.

Bestem $A_0$ og $k$ , og gi en praktisk tolkning av disse verdiene.

Fiskepopulasjonen kan også beskrives med en logistisk modell på formen

N(t) = \frac{B}{1 + \dfrac{B - N_0}{N_0} e^{-r \cdot t}}

$B$ er bæreevnen, $N_0$ er antall tusen fisk ved $t = 0$ og $r$ er vekstparameteren.

Bestem $N_0$ , $B$ og $r$ .

Bestem den deriverte til funksjonene du fant i oppgavene a) og b). Forklar hvordan vekstfarten endrer seg ifølge hver av de to modellene.

Hvilken modell mener du beskriver den praktiske situasjonen best? Hvor mange fisk vil det være 12 måneder etter første registrering, ifølge denne modellen?

Fasit

$A_0 \approx 1{,}60$ , $k \approx 1{,}63$ . Populasjonen starter på ca. 1 600 fisk og vokser med ca. 63 % per måned.

$N_0 \approx 1{,}92$ , $B \approx 111{,}37$ , $r \approx 0{,}52$ .

$A'(t) = A_0 \cdot \ln(k) \cdot k^t \approx 0{,}782 \cdot 1{,}63^t$ — alltid voksende. $N'(t) = r \cdot N(t)\!\left(1 - \tfrac{N(t)}{B}\right)$ — øker til vendepunktet ved $t \approx 7{,}7$ ( $N \approx 55{,}7$ ), deretter avtar den.

Den logistiske modellen passer best. $N(12) \approx 100{,}8$ tusen fisk.

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra CAS-sesjon (alle deloppgaver):

GeoGebra CAS – eksponential og logistisk modell, deriverte og vendepunkt

Graf med begge modeller og datapunkter:

Graf – eksponentialmodell (rød) og logistisk modell (blå) med datapunkter (grønn)

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og utfører eksponentiell regresjonsanalyse. GeoGebra gir (linje 3 i CAS):

A(t) = 1{,}60 \cdot 1{,}63^t

$A_0 \approx 1{,}60$ og $k \approx 1{,}63$ .

Praktisk tolkning:

$A_0 = 1{,}60$ betyr at det var ca. 1 600 fisk i innsjøen da arten ble første gang registrert ( $t = 0$ ).
$k = 1{,}63 = 1 + 0{,}63$ betyr at populasjonen vokser med ca. 63 % per måned ifølge denne modellen.

Vi utfører logistisk regresjonsanalyse i GeoGebra og får (linje 4 i CAS):

N(t) = \frac{111{,}37}{1 + 56{,}88 \cdot e^{-0{,}5244\,t}}

Sammenlikner vi med oppgavens form $N(t) = \dfrac{B}{1 + \dfrac{B - N_0}{N_0} e^{-r\,t}}$ , leser vi av:

B = 111{,}37, \qquad \frac{B - N_0}{N_0} = 56{,}88 \;\Rightarrow\; N_0 = \frac{B}{1 + 56{,}88} \approx 1{,}92, \qquad r = 0{,}5244

$N_0 \approx 1{,}92$ , $B \approx 111{,}37$ , $r \approx 0{,}52$ .

Eksponentialmodellen $A(t) = A_0 \cdot k^t$ deriveres med kjerneregelen ( $k^t = e^{t \ln k}$ ):

A'(t) = A_0 \cdot \ln(k) \cdot k^t

Fra linje 5 i CAS:

A'(t) \approx 0{,}782 \cdot 1{,}63^t

Siden $A'(t) > 0$ for alle $t$ og faktoren $1{,}63^t$ vokser uten begrensning, øker vekstfarten hele tiden — eksponentialmodellen gir alltid raskere og raskere vekst.

Den logistiske modellen $N(t) = \dfrac{B}{1 + \frac{B-N_0}{N_0}e^{-rt}}$ har derivert (linje 4 viser formen, beregnet analytisk):

N'(t) = r \cdot N(t) \cdot \left(1 - \frac{N(t)}{B}\right)

Vekstfarten avhenger både av nåværende populasjonsstørrelse $N(t)$ og av hvor nær bæreevnen $B$ populasjonen er. Vekstfarten er størst i vendepunktet, som finnes der $N(t) = B/2$ . Vi beregner (linje 6 og 7 i CAS):

t_{\text{vend}} = \frac{\ln(56{,}88)}{0{,}5244} \approx 7{,}7 \mathrm{~måneder}, \qquad N(t_{\text{vend}}) = \frac{B}{2} \approx 55{,}7 \text{~(tusen fisk)}

Maksimal vekstfart (linje 8 i CAS):

N'(t_{\text{vend}}) = \frac{r \cdot B}{4} \approx \frac{0{,}5244 \cdot 111{,}37}{4} \approx 14{,}6 \text{~(tusen fisk per måned)}

Oppsummering: Den logistiske modellen gir vekstfart som øker frem til $t \approx 7{,}7$ måneder, deretter avtar vekstfarten mot null når populasjonen nærmer seg bæreevnen $B \approx 111{,}4$ tusen fisk.

Den logistiske modellen passer best for denne praktiske situasjonen. Begrunnelse:

En fiskepopulasjon i en avgrenset innsjø har ikke ubegrenset tilgang på mat og plass. Bæreevnen $B$ representerer den maksimale populasjonen som innsjøen kan bære — en biologisk realistisk øvre grense.
Eksponentialmodellen forutsetter evig ubegrenset vekst, noe som er urealistisk i et lukket økosystem. Ved $t = 12$ gir den $A(12) \approx 266$ tusen fisk — mer enn dobbelt så mye som bæreevnen til den logistiske modellen.
Datapunktene viser tydelig at vekstfarten bremser opp mot slutten av observasjonsperioden (jf. grafen), noe som stemmer med logistisk atferd.

Ifølge den logistiske modellen vil det være

N(12) = \frac{111{,}37}{1 + 56{,}88 \cdot e^{-0{,}5244 \cdot 12}} \approx \mathbf{\underline{\underline{100{,}8 \text{~(tusen fisk)}}}}

12 måneder etter første registrering — det vil si omtrent 100 800 fisk.

Sensorveiledning

2 poeng

1 poeng for å bestemme verdiene $A_0$ og $k$ , og 1 poeng for å gi en praktisk tolkning.

2 poeng

1 poeng for å finne to av de tre verdiene.

2 poeng

1 poeng for å finne den deriverte til $A(t)$ og $N(t)$ , og 1 poeng for å forklare endringen av vekstfarten til begge funksjonene.

Kandidater som finner den deriverte til en av funksjonene og forklarer endringen av vekstfarten til denne, kan også få 1 poeng.

2 poeng

1 poeng for å begrunne valg av modell. 1 poeng for å finne antall fisk etter 12 måneder.

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: eksponentialfunksjoner, logistisk funksjon, derivasjon, modellering
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon