Firkantområde beskrevet med ulikheter og linje med stigningstall k

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Markert område i et koordinatsystem

I figuren har vi markert et område.

Sett opp ulikheter som avgrenser dette området.

En rett linje på formen $y = k x + b$ går gjennom punktet $(- 4, 1)$ .

Hvilke verdier for $k$ gjør at området på figuren blir uforandret når vi også inkluderer ulikheten $y \leq k x + b$ i ulikhetene fra oppgave a)?

Fasit

$x \geq 2, y \geq 1, x + y \leq 7, x + 2 y \leq 10$

$k \geq \frac{1}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av hjørnene i det markerte området på figuren: $(2,1)$ , $(6,1)$ , $(4,3)$ og $(2,4)$ .

Området er avgrenset av fire rette linjer:

Til venstre en loddrett linje gjennom $(2,1)$ og $(2,4)$ , det gir $x = 2$ . Området ligger til høyre for denne linja, altså $x \geq 2$ .
Nederst en vannrett linje gjennom $(2,1)$ og $(6,1)$ , det gir $y = 1$ . Området ligger over denne linja, altså $y \geq 1$ .
Øverst til høyre en linje gjennom $(6,1)$ og $(4,3)$ . Stigningstallet er

\frac{3 - 1}{4 - 6} = \frac{2}{- 2} = - 1

Linja har da likningen $y - 1 = - 1 (x - 6)$ , altså $y = - x + 7$ , eller $x + y = 7$ . Området ligger under denne linja, altså $x + y \leq 7$ .

Øverst til venstre en linje gjennom $(4,3)$ og $(2,4)$ . Stigningstallet er

\frac{4 - 3}{2 - 4} = \frac{1}{- 2} = - \frac{1}{2}

Linja har da likningen $y - 3 = - \frac{1}{2} (x - 4)$ , altså $y = - \frac{1}{2} x + 5$ , eller $x + 2 y = 10$ . Området ligger under denne linja, altså $x + 2 y \leq 10$ .

Området er dermed beskrevet ved

\begin{matrix} x & \geq 2 \\ y & \geq 1 \\ x + y & \leq 7 \\ x + 2 y & \leq 10 \end{matrix}

Linja $y = k x + b$ går gjennom $(- 4,1)$ , så

1 = k \cdot (- 4) + b \Rightarrow b = 1 + 4 k

Linja er dermed $y = k x + 1 + 4 k = k (x + 4) + 1$ .

Skal området fra a) være uforandret når vi legger til ulikheten $y \leq k x + b$ , må hele det opprinnelige området ligge på eller under denne linja. Siden området er et (konvekst) firkantet område, holder det å sjekke at ulikheten er oppfylt i de fire hjørnene $(2,1)$ , $(6,1)$ , $(4,3)$ og $(2,4)$ — er den oppfylt der, er den automatisk oppfylt i hele området mellom.

Vi setter inn hvert hjørne $(x_{0}, y_{0})$ i $y_{0} \leq k (x_{0} + 4) + 1$ :

$(2,1)$ : $1 \leq k \cdot 6 + 1 \Rightarrow 0 \leq 6 k \Rightarrow k \geq 0$
$(6,1)$ : $1 \leq k \cdot 10 + 1 \Rightarrow 0 \leq 10 k \Rightarrow k \geq 0$
$(4,3)$ : $3 \leq k \cdot 8 + 1 \Rightarrow 2 \leq 8 k \Rightarrow k \geq \frac{1}{4}$
$(2,4)$ : $4 \leq k \cdot 6 + 1 \Rightarrow 3 \leq 6 k \Rightarrow k \geq \frac{1}{2}$

Den strengeste betingelsen er $k \geq \frac{1}{2}$ , og den kommer fra hjørnet $(2,4)$ . For $k = \frac{1}{2}$ er $b = 1 + 4 \cdot \frac{1}{2} = 3$ , så linja er $y = 0,5 x + 3$ — den går akkurat gjennom toppunktet $(2,4)$ og ligger over resten av området, som skissen under viser.

Skisse av området og grenselinja for k = 1/2

For alle $k \geq \frac{1}{2}$ ligger hele det opprinnelige området på eller under linja, og området blir uforandret.

$k \geq \frac{1}{2}$

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2022, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Ulikheter, Lineære funksjoner, Stigningstall

Firkantområde beskrevet med ulikheter og linje med stigningstall k

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Firkantområde beskrevet med ulikheter og linje med stigningstall k

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Firkantområde beskrevet med ulikheter og linje med stigningstall k

Firkantområde beskrevet med ulikheter og linje med stigningstall k

Lov på eksamen

Temaer