Finn riktig graf for normalfordelingene

På en skole med mange elever er høyden til elevene tilnærmet normalfordelt med en forventningsverdi på 170 cm og et standardavvik på 5 cm.

Vi trekker ut én tilfeldig elev fra skolen og måler hvor høy eleven er.

Hvilken figur nedenfor viser sannsynlighetsfordelingen til denne hendelsen?

Vi trekker ut 25 tilfeldige elever fra skolen, måler hvor høye elevene er, og regner ut gjennomsnittshøyden.

Hvilken figur nedenfor viser sannsynlighetsfordelingen til denne hendelsen?

Husk å begrunne svarene dine.

Fire normalfordelinger

Fasit

Løsningsforslag

Når standardavviket er 5 cm så skal ca. 68 % av sannsynligheten ligge innenfor intervallet $\langle 165, 175 \rangle$ og normalfordelingsfunksjonen skal ha toppunktet sitt ved $170$ cm. Vendepunktene til normalfordelingsfunksjonen skal også ligge ved $x=165$ og $x=175$ .

Figurene A og B viser fordelinger med standardavvik som er svært mye lavere enn 5 cm. Figur D viser et standardavvik som er mye høyere enn 5 cm.

Figur C passer til beskrivelsen.

Vi lar $X$ være høyden til en tilfeldig valgt elev, og $\bar{X}$ være gjennomsnittshøyden til 25 tilfeldig valgte elever. Fra sentralgrensesetningen har vi at

\begin{aligned} \text{E}(\bar{X})&=E(X) = 170\\ \text{SD}(\bar{X}) &= \frac{\text{SD}(X)}{\sqrt{ n }}=\frac{5}{\sqrt{ 25 }}=\frac{5}{5}=1 \end{aligned}

Vi ser at figur B har vendepunktene sine ved $x=169$ og $x=171$ .

Figur B passer til beskrivelsen.

Sensorveiledning

Kandidaten må ha både begrunnelse og riktig figur for å få 1 poeng.

Kandidater som glemmer å dele på kvadratet av antall elever kan få 1 poeng, og dermed velger figur a.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: normalfordeling, tolke grafer, sentralgrenseteoremet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen