Figurtall med kvadratiske klosser og uttrykk for Fn

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figurtall F1, F2 og F3 laget av kvadratiske klosser

Snorre lager figurer av kvadratiske klosser etter et fast mønster. Ovenfor ser du figur $F_1$ , $F_2$ og $F_3$ .

Hvor mange klosser trenger Snorre for å lage $F_4$ og for å lage $F_5$ ?

Bestem et uttrykk for antall klosser i figur $F_n$ uttrykt ved $n$ .

Snorre har 1000 klosser. Han vil lage en figur som er så stor som mulig.

Bruk formelen fra oppgave b) til å bestemme hvor mange klosser han får til overs når han har laget figuren.

Fasit

$F_4 = 38$ klosser, $F_5 = 62$ klosser

$\underline{\underline{F_n = 3n^2 - 3n + 2}}$

Snorre lager $F_{18}$ og har $\underline{\underline{80 \text{ klosser til overs}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi forlenger mønsteret ved å se på oppbygningen av figurene.

Hver figur $F_n$ består av to deler:

En bunn-rektangel med $n$ rader og $n+1$ kolonner: $n \cdot (n+1)$ klosser.
To “ører” øverst i hjørnene, hvert med $(n-1)$ rader og $(n-1)$ kolonner: $2 \cdot (n-1)^2$ klosser.

Vi kan sjekke:

Figur	Bunn	Ører	Totalt
$F_1$	$1 \cdot 2 = 2$	$2 \cdot 0^2 = 0$	$2$
$F_2$	$2 \cdot 3 = 6$	$2 \cdot 1^2 = 2$	$8$
$F_3$	$3 \cdot 4 = 12$	$2 \cdot 2^2 = 8$	$20$
$F_4$	$4 \cdot 5 = 20$	$2 \cdot 3^2 = 18$	$38$
$F_5$	$5 \cdot 6 = 30$	$2 \cdot 4^2 = 32$	$62$

$F_4$ trenger $\underline{\underline{38}}$ klosser og $F_5$ trenger $\underline{\underline{62}}$ klosser.

Ut fra mønsteret i oppgave a) er antall klosser i $F_n$ :

F_n = n(n+1) + 2(n-1)^2

Vi forenkler:

F_n = n^2 + n + 2(n^2 - 2n + 1)

F_n = n^2 + n + 2n^2 - 4n + 2

\textcolor{seagreen}{\boxed{F_n = 3n^2 - 3n + 2}}

Vi kan kontrollere: $F_1 = 3 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 2 = 2$ ✓, $F_2 = 12 - 6 + 2 = 8$ ✓, $F_3 = 27 - 9 + 2 = 20$ ✓.

Vi finner den største $n$ slik at $F_n \leq 1000$ :

3n^2 - 3n + 2 \leq 1000

3n^2 - 3n - 998 \leq 0

Vi løser likningen $3n^2 - 3n - 998 = 0$ med $abc$ -formelen:

n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot 3 \cdot 998}}{2 \cdot 3} = \frac{3 \pm \sqrt{11985}}{6}

n = \frac{3 + \sqrt{11985}}{6} \approx \frac{3 + 109{,}5}{6} \approx 18{,}7

Siden $n$ må være et helt tall, er den største lovlige verdien $n = 18$ .

Vi sjekker:

F_{18} = 3 \cdot 18^2 - 3 \cdot 18 + 2 = 3 \cdot 324 - 54 + 2 = 972 - 54 + 2 = 920

F_{19} = 3 \cdot 19^2 - 3 \cdot 19 + 2 = 3 \cdot 361 - 57 + 2 = 1083 - 57 + 2 = 1028 > 1000

Antall klosser til overs:

1000 - 920 = 80

Snorre lager figur $F_{18}$ og har $\underline{\underline{80 \, \mathrm{klosser}}}$ til overs.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter