Figurmønster med sirkler i stjerne

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Fire figurer som viser et voksende stjerne-mønster av sirkler. Figur 1: 1 sirkel, Figur 2: 9 sirkler, Figur 3: 21 sirkler, Figur 4: 37 sirkler

Ovenfor ser du fire figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Hvor mange små sirkler vil det være i figur 5? Vis eller forklar hvordan du har tenkt for å komme fram til svaret.

Bestem et uttrykk for antall små sirkler i figur $n$ .

Fasit

$\underline{\underline{65 \mathrm{~sirkler}}}$

$\underline{\underline{f(n) = 3n^2 - 2n}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller antall sirkler i de fire figurene:

Figur $n$	Antall sirkler	Første differanse
1	1	—
2	8	$+7$
3	21	$+13$
4	40	$+19$

Den første differansen øker med $6$ for hvert steg. Det betyr at vi legger til $6$ mer enn forrige gang:

\text{Neste differanse} = 19 + 6 = 25

Antall sirkler i figur 5:

40 + 25 = \textcolor{seagreen}{65}

Figur 5 har $\underline{\underline{65}}$ sirkler.

Siden den første differansen øker jevnt med $6$ for hvert steg, er andre differansen konstant og lik $6$ . Det betyr at sammenhengen er kvadratisk, altså på formen

f(n) = an^2 + bn + c

Vi setter opp tre likninger ved å bruke verdiene fra tabellen:

\textcolor{steelblue}{f(1) = 1:} \quad a + b + c = 1

\textcolor{tomato}{f(2) = 8:} \quad 4a + 2b + c = 8

\textcolor{seagreen}{f(3) = 21:} \quad 9a + 3b + c = 21

Fra de to første likningene:

4a + 2b + c - (a + b + c) = 8 - 1

3a + b = 7 \quad \text{(I)}

Fra den andre og tredje:

9a + 3b + c - (4a + 2b + c) = 21 - 8

5a + b = 13 \quad \text{(II)}

Trekker (I) fra (II):

2a = 6 \implies a = 3

Setter $a = 3$ inn i (I):

9 + b = 7 \implies b = -2

Setter $a = 3$ og $b = -2$ inn i den første likningen:

3 - 2 + c = 1 \implies c = 0

Uttrykket blir

\boxed{f(n) = 3n^2 - 2n}

Vi kan også forstå dette geometrisk: hver figur består av et $n \times n$ -kvadrat ( $n^2$ sirkler) med fire trekantformede armer som til sammen har $2n(n-1)$ sirkler, slik at $f(n) = n^2 + 2n(n-1) = 3n^2 - 2n$ .

Vi kontrollerer med figur 4: $f(4) = 3 \cdot 16 - 2 \cdot 4 = 48 - 8 = 40$ ✓

Antall sirkler i figur $n$ er $\underline{\underline{f(n) = 3n^2 - 2n}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Figurtall, Mønstre, Tallfølger

Figurmønster med sirkler i stjerne

Sync på tvers av enheter

Figurmønster med sirkler i stjerne

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave