Fibonacci-kvadrater og Fibonacci-spiralen rundt punktet P

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor ser du hvordan vi kan sette sammen kvadrater $K_{1}, K_{2}, K_{3}, K_{4}, K_{5}$ og $K_{6}$ i flere trinn rundt punktet $P$ .

Kvadratene K1 til K6 satt sammen i seks trinn rundt punktet P

$s_{1}$ er lengden av siden i kvadratet $K_{1}$ , $s_{2}$ er lengden av siden i kvadratet $K_{2}$ og så videre.

Du ser at $s_{1} = 1$ , $s_{2} = 1$ , $s_{3} = 2$ , $s_{4} = 3$ , $s_{5} = 5$ og $s_{6} = 8$ .

Tallene ovenfor er en del av den såkalte Fibonacci-tallfølgen $1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$

For hånd

Hva er de to neste tallene i Fibonacci-tallfølgen?

For hånd

Bruk rutenettet nederst i oppgaven og tegn kvadrat $K_{7}$ og kvadrat $K_{8}$ .

Dersom vi tegner kvartsirkler inne i kvadratene med start i punktet $P$ , får vi en såkalt Fibonacci-spiral som vi kan oppdage i naturen. Se figuren nedenfor.

Fibonacci-spiralen tegnet som kvartsirkler inne i kvadratene

For hånd

Bruk rutenettet nederst i oppgaven og tegn Fibonacci-spiralen ferdig til og med kvadrat $K_{8}$ . Bruk passer.

Hver gang vi legger til et nytt kvadrat, danner kvadratene til sammen et rektangel. Jo flere kvadrater vi tar med, jo nærmere kommer vi til et gyllent rektangel.

Kalkulator

Hvor mange kvadrater må vi minst ta med for at lengde delt på bredde i rektanglet skal bli $1,618$ når vi runder av til tre desimaler?

Rutenett til oppgave b) og c):

Rutenett med kvadratene K1 til K6 tegnet inn

Fasit

$13 og 21$

$K_{7}$ (side $13$ ) til høyre for hele figuren, $K_{8}$ (side $21$ ) under hele figuren

Kvartsirkler med radius $13$ i $K_{7}$ og radius $21$ i $K_{8}$

$9 kvadrater$

LøsningsforslagKI-generert

Fibonacci-tallfølgen lages ved at hvert tall er summen av de to foregående tallene. De to siste tallene i følgen er $5$ og $8$ . Da blir de to neste tallene

5 + 8 = 13 og 8 + 13 = 21

$De to neste tallene er 13 og 21$ .

Vi ser på figuren over trinn 1 til 6. For hvert trinn dannes det et rektangel som består av alle kvadratene som er tegnet så langt:

Trinn	Kvadrater med i figuren	Bredde	Høyde
4	$K_{1}, K_{2}, K_{3}, K_{4}$	$3$	$5$
5	$K_{1}, \dots, K_{5}$	$8$	$5$
6	$K_{1}, \dots, K_{6}$	$8$	$13$

Legg merke til at hvert nytt kvadrat alltid har samme sidelengde som den lengste siden i rektanglet det legges til. Etter $K_{6}$ er rektanglet $8$ ruter bredt og $13$ ruter høyt.

$K_{7}$ har side $13$ , og den lengste siden i rektanglet er nå høyden ( $13$ ). Vi tegner derfor $K_{7}$ som et kvadrat med side $13$ ruter til høyre for hele den nåværende figuren, slik at den nye siden i $K_{7}$ dekker hele høyden på $13$ ruter.

Etter dette er rektanglet $8 + 13 = 21$ ruter bredt og fortsatt $13$ ruter høyt. Den lengste siden er nå bredden ( $21$ ). $K_{8}$ har side $21$ , og vi tegner den derfor som et kvadrat med side $21$ ruter under hele den nåværende figuren, slik at den nye siden i $K_{8}$ dekker hele bredden på $21$ ruter.

Fibonacci-spiralen er satt sammen av kvartsirkler, én i hvert kvadrat. Hver kvartsirkel har senter i det hjørnet av kvadratet som ligger nærmest punktet $P$ (samme hjørne som møter de kvadratene som allerede er tegnet), og radiusen er lik sidelengden i kvadratet. Buen starter der forrige kvartsirkel sluttet, og går til det motsatte hjørnet av kvadratet.

I $K_{7}$ : sett passerspissen i hjørnet der $K_{7}$ møter $K_{6}$ . Slå en kvartsirkel med radius $13$ ruter, fra der buen i $K_{6}$ sluttet til det motsatte hjørnet av $K_{7}$ .
I $K_{8}$ : sett passerspissen i hjørnet der $K_{8}$ møter $K_{7}$ . Slå en kvartsirkel med radius $21$ ruter, fra der buen i $K_{7}$ sluttet til det motsatte hjørnet av $K_{8}$ .

Rektanglet som dannes når vi har tatt med kvadratene $K_{1}$ til $K_{n}$ , har sidene $s_{n}$ og $s_{n + 1}$ . Forholdet lengde delt på bredde er da $\frac{s_{n + 1}}{s_{n}}$ . Vi regner ut dette forholdet for stadig flere kvadrater, med tre desimaler:

Kvadrater med	Rektangel (bredde $\times$ høyde)	$\frac{s_{n + 1}}{s_{n}}$
$K_{1}$ – $K_{6}$	$8 \times 13$	$13 / 8 = 1,625$
$K_{1}$ – $K_{7}$	$13 \times 21$	$21 / 13 \approx 1,615$
$K_{1}$ – $K_{8}$	$21 \times 34$	$34 / 21 \approx 1,619$
$K_{1}$ – $K_{9}$	$34 \times 55$	$55 / 34 \approx 1,618$

Ved $K_{9}$ blir forholdet for første gang $1,618$ når vi runder av til tre desimaler.

$Vi må minst ta med 9 kvadrater (K_{1} til K_{9})$ .

Oppgavedata

Hentet fra: 10. trinn V2010, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Tallfølger, Mønstre, Figurtall, Forholdsregning, Geometri

Fibonacci-kvadrater og Fibonacci-spiralen rundt punktet P

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Fibonacci-kvadrater og Fibonacci-spiralen rundt punktet P

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Fibonacci-kvadrater og Fibonacci-spiralen rundt punktet P

Fibonacci-kvadrater og Fibonacci-spiralen rundt punktet P

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer