Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

Newtons 2. lov sier at $F = m \cdot a$, der $F$ er summen av kreftene som virker på en gjenstand med masse $m$ og akselerasjon $a$.

Vi minner om at akselerasjonen er den deriverte av farten med hensyn på tiden.

Newtons 2. lov kan for eksempel brukes til å beskrive og studere fallskjermhopp.

En fallskjermhopper med fallskjermen har til sammen massen $m$. La $v(t)$ være farten til hopperen ved tiden $t$ etter uthoppet. Hoppingen skjer fra et utoverhengende fjell, slik at vi kan anta at $v(0) = 0$. Det er to krefter som virker på hopperen: tyngdekraften $m \cdot g$ og luftmotstanden som er $-k_1 \cdot v(t)$ når fallskjermen er lukket. Her er $k_1$ en konstant og $g$ er tyngdeakselerasjonen. Alle størrelsene har benevning i SI-systemet, det vil si at masse måles i kg, tid måles i sekunder og strekning måles i meter.

a)

Vis at Newtons 2. lov kan omformes til følgende differensiallikning:

$$v'(t) + \frac{k_1}{m}v(t) = g$$

Vi setter $m = 80$, $g = 10$ og $k_1 = 16$.

b)

Vis at $v(t) = 50 - 50 \cdot e^{-0{,}2t}$ er en løsning av differensiallikningen i a).

c)

Finn farten og akselerasjonen til hopperen når $t = 4$.

Etter 5 sekunder drar hopperen i snora og utløser fallskjermen. Vi regner med at luftmotstanden nå blir $-k_2 \cdot v(t)^2$. Vi setter $g = 10$ og $k_2 = 8$.

d)

Bruk Newtons 2. lov til å sette opp en differensiallikning for situasjonen når fallskjermen er åpnet.

e)

Differensiallikningen i d) er separabel. Vi setter $v$ i stedet for $v(t)$. Vis at vi kan skrive differensiallikningen som:

$$\left(\frac{1}{10-v} + \frac{1}{10+v}\right)\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 2$$

f)

Finn et uttrykk for $v$ ved å løse differensiallikningen i e).