Faktorisering og forkorting av brøk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4

Vis at $(x - 1)$ er en faktor i $f (x)$ .

Faktoriser $f (x)$ i lineære faktorer.

Vi har gitt brøken

\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + d}{x^{2} - 4}

For hvilke verdier av $d$ kan brøken forkortes?

Fasit

$f (1) = 0$ , så $(x - 1)$ er en faktor i $f (x)$ (faktorteoremet).

$f (x) = (x - 1) {(x - 2)}^{2}$

$d = - 4$ eller $d = 44$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker faktorteoremet: $(x - 1)$ er en faktor i $f (x)$ hvis og bare hvis $f (1) = 0$ .

f (1) = 1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1 - 4 = 1 - 5 + 8 - 4 = 0

Siden $f (1) = 0$ , er $(x - 1)$ en faktor i $f (x)$ .

Vi utfører polynomdivisjon $f (x) \div (x - 1)$ :

x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4 = (x - 1) \cdot q (x)

\begin{matrix} (x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4 & ) : (x - 1) = x^{2} - 4 x + 4 \\ x^{3} - 1 x^{2} + 0 x + 0 \\ - 4 x^{2} + 8 x - 4 \\ - 4 x^{2} + 4 x + 0 \\ 4 x - 4 \\ 4 x - 4 \\ 0 \end{matrix}

Vi får $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 4 x + 4)$ .

Andregradsfaktoren faktoriseres videre:

x^{2} - 4 x + 4 = {(x - 2)}^{2}

Dermed er

f (x) = (x - 1) {(x - 2)}^{2}

Vi har brøken

\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + d}{x^{2} - 4}

Nevneren er $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .

Brøken kan forkortes når telleren $g (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + d$ har $(x - 2)$ eller $(x + 2)$ som faktor, det vil si når $g (2) = 0$ eller $g (- 2) = 0$ .

Tilfelle 1: $g (2) = 0$

g (2) = 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 + d = 8 - 20 + 16 + d = 4 + d = 0

d = - 4

Tilfelle 2: $g (- 2) = 0$

g (- 2) = {(- 2)}^{3} - 5 \cdot {(- 2)}^{2} + 8 \cdot (- 2) + d = - 8 - 20 - 16 + d = - 44 + d = 0

d = 44

Brøken kan forkortes når $d = - 4$ eller $d = 44$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2018, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Rasjonale funksjoner

Faktorisering og forkorting av brøk

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Faktorisering og forkorting av brøk

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Faktorisering og forkorting av brøk

Faktorisering og forkorting av brøk

Lov på eksamen

Temaer