Faktorisering og forkorting av brøk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 - 5x^2 + 8x - 4

Vis at $(x - 1)$ er en faktor i $f(x)$ .

Faktoriser $f(x)$ i lineære faktorer.

Vi har gitt brøken

\frac{x^3 - 5x^2 + 8x + d}{x^2 - 4}

For hvilke verdier av $d$ kan brøken forkortes?

Fasit

$f(1) = 0$ , så $(x-1)$ er en faktor i $f(x)$ (faktorteoremet).

$\underline{\underline{f(x) = (x-1)(x-2)^2}}$

$\underline{\underline{d = -4}}$ eller $\underline{\underline{d = 44}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker faktorteoremet: $(x-1)$ er en faktor i $f(x)$ hvis og bare hvis $f(1) = 0$ .

f(1) = 1^3 - 5 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 - 4 = 1 - 5 + 8 - 4 = 0

Siden $f(1) = 0$ , er $(x-1)$ en faktor i $f(x)$ .

Vi utfører polynomdivisjon $f(x) \div (x-1)$ :

x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = (x-1) \cdot q(x)

\begin{array}{r} x^2 - 4x + 4 \\ x - 1 \enclose{longdiv}{x^3 - 5x^2 + 8x - 4} \\ \underline{-(x^3 - x^2)} \\ -4x^2 + 8x - 4 \\ \underline{-(-4x^2 + 4x)} \\ 4x - 4 \\ \underline{-(4x - 4)} \\ 0 \end{array}

Vi får $f(x) = (x-1)(x^2 - 4x + 4)$ .

Andregradsfaktoren faktoriseres videre:

x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2

Dermed er

\underline{\underline{f(x) = (x-1)(x-2)^2}}

Vi har brøken

\frac{x^3 - 5x^2 + 8x + d}{x^2 - 4}

Nevneren er $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ .

Brøken kan forkortes når telleren $g(x) = x^3 - 5x^2 + 8x + d$ har $(x-2)$ eller $(x+2)$ som faktor, det vil si når $g(2) = 0$ eller $g(-2) = 0$ .

Tilfelle 1: $g(2) = 0$

g(2) = 2^3 - 5 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 + d = 8 - 20 + 16 + d = 4 + d = 0

d = -4

Tilfelle 2: $g(-2) = 0$

g(-2) = (-2)^3 - 5 \cdot (-2)^2 + 8 \cdot (-2) + d = -8 - 20 - 16 + d = -44 + d = 0

d = 44

Brøken kan forkortes når $\underline{\underline{d = -4}}$ eller $\underline{\underline{d = 44}}$ .

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter