Faktorisering og drøfting av tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 5 x + 14

Hvilket av de tre faktoriserte polynomene nedenfor er det samme som $f (x)$ ?

P_{1} (x) = (x - 2) (x^{2} - 6 x + 7)

P_{2} (x) = (x + 2) (x^{2} - 6 x - 7)

P_{3} (x) = (x - 2) (x^{2} - 6 x - 7)

Bruk det du fant i oppgave a), til å bestemme nullpunktene til $f$ .

Bestem $x$ -koordinater til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Fasit

$P_{3} (x) = (x - 2) (x^{2} - 6 x - 7)$

Nullpunkter $x = - 1, x = 2 og x = 7$

Toppunkt ved $x = \frac{1}{3}$ , bunnpunkt ved $x = 5$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ganger ut hvert av de tre alternativene og sammenligner med $f (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 5 x + 14$ .

P_{1} (x) = (x - 2) (x^{2} - 6 x + 7) = x^{3} - 8 x^{2} + 19 x - 14

P_{2} (x) = (x + 2) (x^{2} - 6 x - 7) = x^{3} - 4 x^{2} - 19 x - 14

P_{3} (x) = (x - 2) (x^{2} - 6 x - 7) = x^{3} - 8 x^{2} + 5 x + 14

Kun $P_{3} (x)$ stemmer overens med $f (x)$ ledd for ledd. Svaret er

P_{3} (x) = (x - 2) (x^{2} - 6 x - 7)

Vi bruker faktoriseringen fra a) og setter $f (x) = 0$ :

(x - 2) (x^{2} - 6 x - 7) = 0

Dette gir enten

x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2

eller, ved bruk av abc-formelen på $x^{2} - 6 x - 7 = 0$ :

x = \frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}

x = 7 eller x = - 1

Nullpunktene til $f$ er

x = - 1, x = 2 og x = 7

Topp- og bunnpunkter finner vi der den deriverte er null. Vi deriverer $f (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 5 x + 14$ :

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 16 x + 5

Vi løser $f^{'} (x) = 0$ med abc-formelen:

x = \frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 60}}{6} = \frac{16 \pm \sqrt{196}}{6} = \frac{16 \pm 14}{6}

x = 5 eller x = \frac{1}{3}

For å avgjøre hva slags ekstremalpunkter dette er, ser vi på $f^{''} (x) = 6 x - 16$ :

f^{''} (\frac{1}{3}) = 6 \cdot \frac{1}{3} - 16 = 2 - 16 = - 14 < 0 \Rightarrow toppunkt

f^{''} (5) = 6 \cdot 5 - 16 = 30 - 16 = 14 > 0 \Rightarrow bunnpunkt

Grafen til $f$ har toppunkt ved $x = \frac{1}{3}$ og bunnpunkt ved $x = 5$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2016, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Nullpunkter, Funksjonsdrøfting

Innstillinger