Etterspørsel, inntekt og overskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger en vare. Bedriften regner med at den daglige etterspørselen $x = E (p)$ er gitt ved

E (p) = 341 - p^{2} for p \in [4, 16]

der $p$ er prisen i kroner per enhet.

Kalkulator

Bestem inntekten $I$ uttrykt ved $p$ .

Kalkulator

Hvilken pris gir høyest inntekt?

De daglige kostnadene ved å produsere og selge $x$ enheter er $K (x)$ kroner. Tabellen nedenfor viser kostnadene for noen $x$ -verdier.

$x$	50	100	150	200	250	300
$K (x)$	792	1065	1329	1601	1867	2136

Kalkulator

Bruk blant annet tallene i tabellen til å vise at en god modell for overskuddsfunksjonen er gitt ved

O (p) = - p^{3} + 5,37 p^{2} + 341 p - 2356

Kalkulator

Bestem den prisen som gir størst overskudd. Hvor mange enheter må bedriften produsere da?

Fasit

$I (p) = - p^{3} + 341 p$

$p \approx 10,66$ kr gir høyest inntekt

Lineær regresjon gir $K (x) \approx 5,37 x + 525,2$ , slik at $O (p) = - p^{3} + 5,37 p^{2} + 341 p - 2356$

$p \approx 12,6$ kr, antall enheter $x \approx 182$

LøsningsforslagKI-generert

Inntekten er pris multiplisert med antall enheter solgt:

I (p) = p \cdot E (p) = p \cdot (341 - p^{2}) = 341 p - p^{3}

Altså er $I (p) = - p^{3} + 341 p$ .

Vi finner maksimum ved å derivere og sette lik null:

I^{'} (p) = - 3 p^{2} + 341

Setter $I^{'} (p) = 0$ :

- 3 p^{2} + 341 = 0 ⟹ p^{2} = \frac{341}{3} ⟹ p = \sqrt{\frac{341}{3}} \approx 10,66

Vi sjekker at dette gir maksimum: $I^{''} (p) = - 6 p < 0$ for $p > 0$ . ✓

Siden $p \approx 10,66 \in [4, 16]$ , gir $p \approx 10,66$ kr høyest inntekt.

Steg 1: Finn $K (x)$ ved lineær regresjon

Fra tabellen bruker vi lineær regresjon (grad 1) på datapunktene:

$x$	50	100	150	200	250	300
$K (x)$	792	1065	1329	1601	1867	2136

Regresjonen gir:

K (x) \approx 5,37 x + 525,2

Vi kan verifisere: for $x = 100$ gir modellen $K (100) = 5,37 \cdot 100 + 525,2 = 1062,2 \approx 1065$ ✓

Steg 2: Uttrykk $K$ som funksjon av $p$

Siden $x = E (p) = 341 - p^{2}$ setter vi inn:

K (E (p)) = 5,37 (341 - p^{2}) + 525,2 = 1832,17 - 5,37 p^{2} + 525,2 = 2357,37 - 5,37 p^{2}

Steg 3: Sett opp overskuddsfunksjonen

O (p) = I (p) - K (E (p)) = (- p^{3} + 341 p) - (2357,37 - 5,37 p^{2})

O (p) = - p^{3} + 5,37 p^{2} + 341 p - 2357,37

Avrunder vi konstantleddet til $- 2356$ , får vi:

O (p) \approx - p^{3} + 5,37 p^{2} + 341 p - 2356

Dette er i samsvar med den oppgitte modellen. ✓

Vi maksimerer $O (p) = - p^{3} + 5,37 p^{2} + 341 p - 2356$ på $[4, 16]$ .

Deriverer:

O^{'} (p) = - 3 p^{2} + 10,74 p + 341

Setter $O^{'} (p) = 0$ :

- 3 p^{2} + 10,74 p + 341 = 0

Med CAS (eller andregradsformelen) løser vi:

p = \frac{- 10,74 \pm \sqrt{{10,74}^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 341}}{- 6} \approx 12,6 eller p \approx - 9,0

Siden $p \in [4, 16]$ er $p \approx 12,6$ den eneste aktuelle løsningen.

Vi sjekker: $O^{''} (p) = - 6 p + 10,74$ , og $O^{''} (12,6) = - 6 \cdot 12,6 + 10,74 = - 64,86 < 0$ . Dette er et maksimum. ✓

Antall enheter:

x = E (12,6) = 341 - {12,6}^{2} = 341 - 158,76 \approx 182 enheter

Den prisen som gir størst overskudd er $p \approx 12,6$ kr, og bedriften må da produsere og selge omtrent $182$ enheter.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2016, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Etterspørsel, Optimering, Modellering, Økonomi

Etterspørsel, inntekt og overskudd

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Etterspørsel, inntekt og overskudd

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Etterspørsel, inntekt og overskudd

Etterspørsel, inntekt og overskudd

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer