Etterspørsel, inntekt og overskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger en vare. Bedriften regner med at den daglige etterspørselen $x = E(p)$ er gitt ved

E(p) = 341 - p^2 \quad \text{for} \quad p \in [4, 16]

der $p$ er prisen i kroner per enhet.

Bestem inntekten $I$ uttrykt ved $p$ .

Hvilken pris gir høyest inntekt?

De daglige kostnadene ved å produsere og selge $x$ enheter er $K(x)$ kroner. Tabellen nedenfor viser kostnadene for noen $x$ -verdier.

$x$	50	100	150	200	250	300
$K(x)$	792	1065	1329	1601	1867	2136

Bruk blant annet tallene i tabellen til å vise at en god modell for overskuddsfunksjonen er gitt ved

O(p) = -p^3 + 5{,}37p^2 + 341p - 2356

Bestem den prisen som gir størst overskudd. Hvor mange enheter må bedriften produsere da?

Fasit

$I(p) = -p^3 + 341p$

$p \approx 10{,}66$ kr gir høyest inntekt

Lineær regresjon gir $K(x) \approx 5{,}37x + 525{,}2$ , slik at $O(p) = -p^3 + 5{,}37p^2 + 341p - 2356$

$p \approx 12{,}6$ kr, antall enheter $x \approx 182$

LøsningsforslagKI-generert

Inntekten er pris multiplisert med antall enheter solgt:

I(p) = p \cdot E(p) = p \cdot (341 - p^2) = 341p - p^3

Altså er $I(p) = -p^3 + 341p$ .

Vi finner maksimum ved å derivere og sette lik null:

I'(p) = -3p^2 + 341

Setter $I'(p) = 0$ :

-3p^2 + 341 = 0 \implies p^2 = \frac{341}{3} \implies p = \sqrt{\frac{341}{3}} \approx 10{,}66

Vi sjekker at dette gir maksimum: $I''(p) = -6p < 0$ for $p > 0$ . ✓

Siden $p \approx 10{,}66 \in [4, 16]$ , gir $p \approx 10{,}66$ kr høyest inntekt.

Steg 1: Finn $K(x)$ ved lineær regresjon

Fra tabellen bruker vi lineær regresjon (grad 1) på datapunktene:

$x$	50	100	150	200	250	300
$K(x)$	792	1065	1329	1601	1867	2136

Regresjonen gir:

K(x) \approx 5{,}37x + 525{,}2

Vi kan verifisere: for $x = 100$ gir modellen $K(100) = 5{,}37 \cdot 100 + 525{,}2 = 1062{,}2 \approx 1065$ ✓

Steg 2: Uttrykk $K$ som funksjon av $p$

Siden $x = E(p) = 341 - p^2$ setter vi inn:

K(E(p)) = 5{,}37(341 - p^2) + 525{,}2 = 1832{,}17 - 5{,}37p^2 + 525{,}2 = 2357{,}37 - 5{,}37p^2

Steg 3: Sett opp overskuddsfunksjonen

O(p) = I(p) - K(E(p)) = (-p^3 + 341p) - (2357{,}37 - 5{,}37p^2)

O(p) = -p^3 + 5{,}37p^2 + 341p - 2357{,}37

Avrunder vi konstantleddet til $-2356$ , får vi:

O(p) \approx -p^3 + 5{,}37p^2 + 341p - 2356

Dette er i samsvar med den oppgitte modellen. ✓

Vi maksimerer $O(p) = -p^3 + 5{,}37p^2 + 341p - 2356$ på $[4, 16]$ .

Deriverer:

O'(p) = -3p^2 + 10{,}74p + 341

Setter $O'(p) = 0$ :

-3p^2 + 10{,}74p + 341 = 0

Med CAS (eller andregradsformelen) løser vi:

p = \frac{-10{,}74 \pm \sqrt{10{,}74^2 + 4 \cdot 3 \cdot 341}}{-6} \approx 12{,}6 \text{ eller } p \approx -9{,}0

Siden $p \in [4, 16]$ er $p \approx 12{,}6$ den eneste aktuelle løsningen.

Vi sjekker: $O''(p) = -6p + 10{,}74$ , og $O''(12{,}6) = -6 \cdot 12{,}6 + 10{,}74 = -64{,}86 < 0$ . Dette er et maksimum. ✓

Antall enheter:

x = E(12{,}6) = 341 - 12{,}6^2 = 341 - 158{,}76 \approx 182 \text{ enheter}

Den prisen som gir størst overskudd er $p \approx 12{,}6$ kr, og bedriften må da produsere og selge omtrent $182$ enheter.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter