Eskevolum og optimering av kubikkfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

En fabrikant ønsker å lage modeller av esker ved å brette rektangulære ark. Vi starter med ark som er 30 cm langt og 20 cm bredt og klipper ut et lite rektangel i hvert hjørne.

Utbrettet ark med mål 30×20 cm og x-merker i hjørnene

Vi bretter langs de stiplete linjene to ganger langs kortsidene og én gang langs langsidene. Høyden av esken blir $x$ cm.

Dersom vi for eksempel lager en eske med høyde 3 cm, blir lengden av esken 18 cm og bredden 14 cm.

Vi vil undersøke sammenhengen mellom høyden og volumet av esken.

Høyde i cm	1	2	3	4
Volum i cm³		704

Vi ønsker å finne ut hvor stor høyden må være for at volumet skal bli størst mulig. Vi lar høyden av esken være $x$ cm.

Kalkulator

Skriv av og fyll ut tabellen ovenfor.

Krever PC

Vis at volumet målt i cm³ er gitt ved $V (x) = 8 x^{3} - 140 x^{2} + 600 x$

ved å bruke regresjon, og

ved å analysere figuren og bruke formelen for volumet av en slik eske.

Kalkulator

Finn ved regning den høyden som gir størst volum. Hvor stort er dette volumet?

Kalkulator

Undersøk om vi kan få et større volum ved at det er langsiden som brettes to ganger og kortsiden én gang.

Fasit

$468, 704, 756, 672 {cm}^{3}$

$V (x) = 8 x^{3} - 140 x^{2} + 600 x$

$x \approx 2,83 cm, V \approx 758 {cm}^{3}$

$Nei, alternativet gir mindre volum (\approx 631 {cm}^{3})$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x = 1, 2, 3, 4$ i formelen $V (x) = 8 x^{3} - 140 x^{2} + 600 x$ (formelen finner vi i b), men vi kan også regne ut tabellen direkte fra figuren):

V (1) = 8 \cdot 1^{3} - 140 \cdot 1^{2} + 600 \cdot 1 = 468

V (2) = 8 \cdot 2^{3} - 140 \cdot 2^{2} + 600 \cdot 2 = 704

V (3) = 8 \cdot 3^{3} - 140 \cdot 3^{2} + 600 \cdot 3 = 756

V (4) = 8 \cdot 4^{3} - 140 \cdot 4^{2} + 600 \cdot 4 = 672

Tabellen blir da:

Høyde i cm	1	2	3	4
Volum i cm³	468	704	756	672

1) Ved regresjon

Vi bruker de fire punktene $(1, 468)$ , $(2, 704)$ , $(3, 756)$ og $(4, 672)$ fra tabellen i a) og utfører kubisk regresjon (tilpasser en tredjegradsfunksjon) på GeoGebra.

Kubisk regresjon på de fire tabellpunktene i GeoGebra CAS

Regresjonen gir

V (x) = 8 x^{3} - 140 x^{2} + 600 x

som er akkurat den oppgitte formelen.

2) Ved å analysere figuren

Vi bretter to ganger langs kortsidene (20 cm) og én gang langs langsidene (30 cm), og høyden av esken blir $x$ cm.

Når arket brettes to ganger langs en kortside, trekkes det $2 x$ fra langsiden i hver ende, altså totalt $4 x$ fra lengden på 30 cm. Når arket brettes én gang langs en langside, trekkes det $x$ fra kortsiden i hver ende, altså totalt $2 x$ fra bredden på 20 cm. Dette stemmer med eksempelet i oppgaven: for $x = 3$ blir lengden $30 - 4 \cdot 3 = 18 cm$ og bredden $20 - 2 \cdot 3 = 14 cm$ .

Bunnen av esken får dermed

lengde = 30 - 4 x, bredde = 20 - 2 x, høyde = x

Volumet av esken (lengde $\cdot$ bredde $\cdot$ høyde) blir

V (x) = x (30 - 4 x) (20 - 2 x) = x (600 - 60 x - 80 x + 8 x^{2}) = x (600 - 140 x + 8 x^{2})

V (x) = 8 x^{3} - 140 x^{2} + 600 x

som stemmer med formelen fra regresjonen.

Volumet er størst der $V^{'} (x) = 0$ . Vi deriverer:

V^{'} (x) = 24 x^{2} - 280 x + 600

Vi løser $V^{'} (x) = 0$ i GeoGebra CAS, og finner samtidig verdien av $V$ i det gyldige nullpunktet.

Derivasjon og løsning av V'(x)=0, samt tilsvarende for det alternative brettemønsteret i d)

Likningen $24 x^{2} - 280 x + 600 = 0$ har løsningene

x \approx 2,83 eller x \approx 8,84

Siden bredden $20 - 2 x$ og lengden $30 - 4 x$ må være positive, må $0 < x < 7,5$ . Løsningen $x \approx 8,84$ ligger utenfor dette området og er derfor ikke aktuell. Vi står igjen med

x \approx 2,83 cm

Siden $V^{'} (x)$ går fra positiv til negativ i dette punktet (typisk for en slik tredjegradsfunksjon på det aktuelle intervallet), er dette et maksimumspunkt. Da blir

V (2,83) \approx 758,08 {cm}^{3}

$x \approx 2,83 cm$ gir størst volum, og maksvolumet er $V \approx 758 {cm}^{3}$ .

Nå bretter vi i stedet langsiden (30 cm) én gang og kortsiden (20 cm) to ganger. Etter samme resonnement som i b) blir da

lengde = 30 - 2 x, bredde = 20 - 4 x, høyde = x

W (x) = x (30 - 2 x) (20 - 4 x) = x (600 - 120 x - 40 x + 8 x^{2}) = 8 x^{3} - 160 x^{2} + 600 x

Vi deriverer og løser $W^{'} (x) = 0$ på samme måte som i c) (se skjermbildet ovenfor):

W^{'} (x) = 24 x^{2} - 320 x + 600

24 x^{2} - 320 x + 600 = 0 \Rightarrow x \approx 2,26 eller x \approx 11,08

Nå må bredden $20 - 4 x$ og lengden $30 - 2 x$ være positive, altså $0 < x < 5$ . Bare $x \approx 2,26$ er gyldig. Dette gir

W (2,26) \approx 631,13 {cm}^{3}

Dette maksimale volumet, $\approx 631 {cm}^{3}$ , er mindre enn maksvolumet på $\approx 758 {cm}^{3}$ vi fant i c).

$Nei$ , den alternative brettemåten gir ikke et større volum — den opprinnelige metoden i b) og c) gir det største volumet.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2009, del 2, oppgave 4-I
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Optimering, Derivasjon, Tredjegradsfunksjon, Regresjon, Funksjonsdrøfting

Eskevolum og optimering av kubikkfunksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Eskevolum og optimering av kubikkfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Eskevolum og optimering av kubikkfunksjon

Eskevolum og optimering av kubikkfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer