Eksponentiell modell for salg av energidrikker

Del 2 · oppgave 6
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Eksponentiell modell for salg av energidrikker

Tabellen nedenfor viser salg av energidrikker i Norge hvert år fra 2015 til 2021.

Årstall2015201620172018201920202021
Salg (tusen liter)18 89918\,89921 66421\,66425 38125\,38131 38531\,38541 14241\,14255 49755\,49767 99767\,997

La xx være antall år etter 2015.

Lag en modell på formen

E(x)=a⋅bxE(x) = a \cdot b^{x}

som passer godt med tallene i tabellen.

Hva forteller tallene aa og bb i modellen du fant i oppgave a)?

I 2022 var salget av energidrikk 73 109 tusen liter.

Hvor stor var økningen i salget av energidrikk i prosent fra 2021 til 2022? Vurder hvordan dette passer med modellen i oppgave a).

Fasit

E(x)=17 396⋅1,248x‾‾\underline{\underline{E(x) = 17\,396 \cdot 1{,}248^x}}

a≈17 396a \approx 17\,396: modellens estimat for salget i 2015 (tusen liter). b≈1,248b \approx 1{,}248: salget øker med ca. 24,8 %‾‾\underline{\underline{24{,}8 \,\%}} per år ifølge modellen.

Faktisk økning fra 2021 til 2022: ≈7,5 %‾‾\underline{\underline{\approx 7{,}5 \,\%}}. Modellen passer dårlig for 2022 — veksten har avtatt kraftig.

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker eksponentiell regresjon med kommandoen RegEksp.

La xx = antall år etter 2015 og yy = salg i tusen liter.

Datapunktene er plottet som røde punkter i grafen under. GeoGebra gir regresjonsmodellen

E(x)=17 396⋅1,248x\mathbf{E(x) = 17\,396 \cdot 1{,}248^x}

Graf med datapunkter og regresjonsmodellen E(x)

Kurven passer godt med datapunktene fra 2015 til 2021 (se grafen).

  • a≈17 396a \approx 17\,396 er modellens verdi for E(0)E(0), det vil si estimert salg i 2015: ca. 17 40017\,400 tusen liter. (Det faktiske salget i 2015 var 18 89918\,899 tusen liter — aa er altså et estimat, ikke den eksakte verdien.)

  • b≈1,248b \approx 1{,}248 er vekstfaktoren. Det betyr at salget ifølge modellen øker med ca. 24,8 %24{,}8 \,\% per år.

Vi beregner faktisk prosentvis økning fra 2021 til 2022:

73 109−67 99767 997⋅100 %≈5 11267 997⋅100 %≈7,5 %\frac{73\,109 - 67\,997}{67\,997} \cdot 100 \,\% \approx \frac{5\,112}{67\,997} \cdot 100 \,\% \approx 7{,}5 \,\%

Den faktiske veksten fra 2021 til 2022 var altså ca. 7,5 %7{,}5 \,\%.

Modellen vår anslår en vekst på ca. 24,8 %24{,}8 \,\% per år. Det er langt mer enn den faktiske veksten på 7,5 %7{,}5 \,\%.

Vi kan også sammenligne modellens spådom for 2022 (x=7x = 7) med det faktiske salget:

E(7)=17 396⋅1,2487≈82 000 tusen literE(7) = 17\,396 \cdot 1{,}248^7 \approx 82\,000 \text{ tusen liter}

Faktisk salg i 2022 var 73 10973\,109 tusen liter (det grønne punktet P2022 i grafen). Modellen overestimerer altså salget i 2022 med ca. 9 000 tusen liter.

Modellen passer dårlig for 2022. Veksten i salget har avtatt betydelig — fra rundt 25 %25 \,\% per år (2015–2021) til bare 7,5 %7{,}5 \,\% fra 2021 til 2022. Den eksponentielle modellen er best egnet for perioden den er basert på (2015–2021), men overestimerer kraftig når veksten bremser opp.

Sensorveiledning

En kandidat som bruker en eksponentialfunksjon og velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til en riktig modell, får 1 poeng.

En kandidat som ikke bruker en eksponentialfunksjon, får ingen uttelling.

3 poeng

For å få full uttelling må kandidaten gi en praktisk tolkning av begge parameterne.

3 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktige beregninger og 1 poeng for vurdering av svaret.

Oppgavedata
Kategori
2
Vanskegrad
2
Poeng
6
Temaer
regresjon, eksponentiell vekst, prosentvis vekst
Kompetansemål
  • Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
  • Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane