Eksponentialfunksjon relativ vekst og momentan vekst

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

I denne oppgaven skal vi studere eksponentialfunksjonen. En eksponentialfunksjon er definert ved $f (x) = a \cdot b^{x}$ , der $a$ og $b$ er konstanter.

Til høyre ser du grafen til funksjonen dersom $a = 100$ og $b = 1,1$ .

$Grafen til f(x) = 100 \cdot 1{,}1^x$

For hånd

Forklar hva verdiene til $a$ og $b$ forteller oss.

Kalkulator

Hvor mye må $x$ økes for at funksjonsverdien skal fordobles? Vis at økningen er den samme uansett hvor på grafen du starter.

Kalkulator

Finn den momentane veksten når $x = 10$ og når $x = 20$ .

Vi definerer den relative veksten i et punkt $(x_{0}, f (x_{0}))$ som

\frac{den momentane veksten i punktet}{funksjonsverdien i punktet} = \frac{f^{'} (x_{0})}{f (x_{0})}

Kalkulator

Finn den relative veksten når $x = 10$ og når $x = 20$ .

En egenskap ved eksponentialfunksjonen er at den relative veksten er konstant, det vil si at den er den samme for alle verdier av $x$ .

For hånd

Velg en annen verdi for $x$ enn verdiene i d), og vis at den relative veksten fortsatt er den samme.

Fasit

$a = 100$ er startverdien ( $f (0)$ ), $b = 1,1$ er vekstfaktoren.

$Δ x \approx 7,27$ (konstant, uansett hvor du starter)

$f^{'} (10) \approx 24,72$ , $f^{'} (20) \approx 64,12$

$\frac{f^{'} (10)}{f (10)} \approx 0,0953$ , $\frac{f^{'} (20)}{f (20)} \approx 0,0953$

F.eks. $x = 5$ : $\frac{f^{'} (5)}{f (5)} \approx 0,0953$ — samme verdi som i d)

LøsningsforslagKI-generert

I $f (x) = a \cdot b^{x}$ er

$a$ startverdien til funksjonen, altså funksjonsverdien når $x = 0$ : $f (0) = a \cdot b^{0} = a$ . Her er $a = 100$ .
$b$ vekstfaktoren. Den forteller hvor mange ganger funksjonsverdien blir multiplisert med for hver økning av $x$ med $1$ . Her er $b = 1,1$ , som betyr at funksjonsverdien øker med $10 %$ for hver økning av $x$ med $1$ .

Vi starter i et vilkårlig punkt $x_{0}$ og ønsker å finne $Δ x$ slik at funksjonsverdien dobles:

f (x_{0} + Δ x) = 2 \cdot f (x_{0})

a \cdot b^{x_{0} + Δ x} = 2 \cdot a \cdot b^{x_{0}}

b^{x_{0}} \cdot b^{Δ x} = 2 \cdot b^{x_{0}}

b^{Δ x} = 2

Legg merke til at $x_{0}$ forsvinner fra likningen — økningen $Δ x$ som trengs for fordobling, er altså den samme uansett hvor på grafen vi starter. Vi løser likningen ${1,1}^{Δ x} = 2$ i CAS (se skjermbilde, linje 3):

CAS: fordoblingstid, momentan og relativ vekst ved x=10 og x=20

Δ x \approx 7,27

Den momentane veksten er den deriverte $f^{'} (x)$ . Vi bruker CAS (linje 2 i utklippet over) til å derivere:

f^{'} (x) = a \cdot \ln (b) \cdot b^{x} = 100 \cdot \ln (1,1) \cdot {1,1}^{x} \approx 9,531 \cdot {1,1}^{x}

Fra CAS (linje 5 og 8):

f^{'} (10) \approx 24,72 f^{'} (20) \approx 64,12

Den relative veksten er $\frac{f^{'} (x_{0})}{f (x_{0})}$ . Fra CAS-utklippet (linje 6 og 9):

\frac{f^{'} (10)}{f (10)} = \frac{24,72101}{259,37425} \approx 0,0953

\frac{f^{'} (20)}{f (20)} = \frac{64,11992}{672,74999} \approx 0,0953

Den relative veksten er altså den samme ved $x = 10$ og $x = 20$ .

Vi velger $x = 5$ og regner ut på samme måte i CAS:

CAS: relativ vekst ved x=5

f (5) \approx 161,051 f^{'} (5) \approx 15,35

\frac{f^{'} (5)}{f (5)} = \frac{15,3498}{161,051} \approx 0,0953

Dette er samme verdi som vi fant i d). Det stemmer med den generelle sammenhengen

\frac{f^{'} (x)}{f (x)} = \frac{a \cdot \ln (b) \cdot b^{x}}{a \cdot b^{x}} = \ln (b) = \ln (1,1) \approx 0,0953

som viser at den relative veksten alltid er lik $\ln (b)$ — helt uavhengig av $x$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S1 E2007-1, del 2, oppgave 4-II
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Vekstfart, Geometrisk vekst

Eksponentialfunksjon relativ vekst og momentan vekst

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Eksponentialfunksjon relativ vekst og momentan vekst

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Eksponentialfunksjon relativ vekst og momentan vekst

Eksponentialfunksjon relativ vekst og momentan vekst

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer