Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

I denne oppgaven skal vi studere eksponentialfunksjonen. En eksponentialfunksjon er definert ved $f(x) = a \cdot b^x$, der $a$ og $b$ er konstanter.

Til høyre ser du grafen til funksjonen dersom $a = 100$ og $b = 1{,}1$.

a)

Forklar hva verdiene til $a$ og $b$ forteller oss.

b)

Hvor mye må $x$ økes for at funksjonsverdien skal fordobles? Vis at økningen er den samme uansett hvor på grafen du starter.

c)

Finn den momentane veksten når $x = 10$ og når $x = 20$.

Vi definerer den relative veksten i et punkt $(x_0,\ f(x_0))$ som

$$\frac{\text{den momentane veksten i punktet}}{\text{funksjonsverdien i punktet}} = \dfrac{f'(x_0)}{f(x_0)}$$

d)

Finn den relative veksten når $x = 10$ og når $x = 20$.

En egenskap ved eksponentialfunksjonen er at den relative veksten er konstant, det vil si at den er den samme for alle verdier av $x$.

e)

Velg en annen verdi for $x$ enn verdiene i d), og vis at den relative veksten fortsatt er den samme.