Eksponential- og logaritmelikninger

Løs likningene

$3^{3x+2} - 5 = 76$

$3\lg x + 2\lg x^2 + \lg\dfrac{1}{x^9} = 2$

Fasit

$\underline{\underline{x = \dfrac{2}{3}}}$

$\underline{\underline{x = \dfrac{1}{10}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver 81 som en potens med grunntall 3:

81 = 3^4

Likningen blir da

3^{3x+2} - 5 = 76

3^{3x+2} = 81 = 3^4

Siden grunntalene er like, kan vi sette eksponentene like:

3x + 2 = 4

3x = 2

\underline{\underline{x = \dfrac{2}{3}}}

Vi bruker logaritmereglene for å forenkle venstresiden:

3\lg x + 2\lg x^2 + \lg\dfrac{1}{x^9}

Først bruker vi potensregelen $\lg a^n = n \lg a$ :

= 3\lg x + 2 \cdot 2\lg x + \lg x^{-9}

= 3\lg x + 4\lg x + (-9)\lg x

= (3 + 4 - 9)\lg x

= -2\lg x

Likningen er altså

-2\lg x = 2

\lg x = -1

\underline{\underline{x = 10^{-1} = \dfrac{1}{10}}}

Sensorveiledning

2 poeng

Kandidater som viser kompetanse innen logaritmeregning, men ikke kommer fram til svaret kan få 1 poeng.

2 poeng

Kandidater som kommer fram til $\lg x = -1$ kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: eksponentialfunksjoner, logaritmer
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger