Eksponential- og logaritmelikninger

Løs likningene

3^{3 x + 2} - 5 = 76

3 \lg x + 2 \lg x^{2} + \lg \frac{1}{x^{9}} = 2

Fasit

$x = \frac{2}{3}$

$x = \frac{1}{10}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver 81 som en potens med grunntall 3:

81 = 3^{4}

Likningen blir da

3^{3 x + 2} - 5 = 76

3^{3 x + 2} = 81 = 3^{4}

Siden grunntalene er like, kan vi sette eksponentene like:

3 x + 2 = 4

3 x = 2

x = \frac{2}{3}

Vi bruker logaritmereglene for å forenkle venstresiden:

3 \lg x + 2 \lg x^{2} + \lg \frac{1}{x^{9}}

Først bruker vi potensregelen $\lg a^{n} = n \lg a$ :

= 3 \lg x + 2 \cdot 2 \lg x + \lg x^{- 9}

= 3 \lg x + 4 \lg x + (- 9) \lg x

= (3 + 4 - 9) \lg x

= - 2 \lg x

Likningen er altså

- 2 \lg x = 2

\lg x = - 1

x = 10^{- 1} = \frac{1}{10}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som viser kompetanse innen logaritmeregning, men ikke kommer fram til svaret kan få 1 poeng.

Kandidater som kommer fram til $\lg x = - 1$ kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2025, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Eksponentialfunksjon, Logaritmer
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger

Innstillinger