Eksakte verdier av sin og cos 30 grader 1T V26

Likebeint trekant med toppvinkel 30 grader og siden 4

Bruk trekanten ovenfor til å vise at $\sin 30\degree = \frac{1}{2}$ og at $\cos 30\degree = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Bestem arealet av trekanten nedenfor.

Bestem omkretsen av trekanten nedenfor.

Smal trekant med side 10 rot 3, vinkel 30 grader og grunnflate 4

Fasit

Se løsningsforslag

$\text{Areal} = 10\sqrt{3}$

$\text{Omkrets} = 18 + 10\sqrt{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Den likebeinte trekanten i oppgaven har toppvinkel $30°$ og de to like sidene har lengde $4$ .

Vi speiler trekanten om én av de like sidene og setter de to trekantene sammen til én stor trekant. Den store trekanten har tre vinkler på $60°$ og alle tre sidene er $4$ , altså er den likebeint.

Vi trekker nå høyden fra toppen ned til grunnflaten i den likesidede trekanten. Høyden deler trekanten i to like rettvinklede trekanter. Hver av disse rettvinklede trekantene har:

Hypotenuse: $4$ (en side av den likesidede trekanten)
Kortkatet: $\dfrac{4}{2} = 2$ (halve grunnflaten)
Vinkel mot hypotenuse ved grunnflaten: $60°$
Vinkel mot hypotenuse ved toppen: $30°$

I den rettvinklede trekanten kan vi nå lese av:

\sin 30° = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenuse}} = \frac{2}{4} = \underline{\underline{\frac{1}{2}}}

For å finne lengstkateten $h$ (høyden) bruker vi Pytagoras:

h^2 + 2^2 = 4^2 \implies h^2 = 16 - 4 = 12 \implies h = 2\sqrt{3}

Dermed er:

\cos 30° = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenuse}} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \underline{\underline{\frac{\sqrt{3}}{2}}}

Trekanten har to sider på $10\sqrt{3}$ og $4$ med $30°$ mellom dem. Vi bruker arealsetningen:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \sin 30°

Vi setter inn $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$ :

A = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = \textbf{10}\boldsymbol{\sqrt{3}}

Arealet er $\underline{\underline{10\sqrt{3}}}$ .

La $x$ være den ukjente siden (motstående $30°$ -vinkelen). Vi bruker cosinussetningen:

x^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = (10\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2 \cdot 10\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos 30°

Vi setter inn $\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ :

\begin{aligned} x^2 &= 300 + 16 - 80\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 316 - 40 \cdot 3 \\ &= 316 - 120 \\ &= 196 \end{aligned}

x = \sqrt{196} = 14

Omkretsen er:

O = 10\sqrt{3} + 4 + 14 = \underline{\underline{18 + 10\sqrt{3}}}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Her gis i utgangspunktet 1 poeng for å vise sinusverdien og 1 poeng for å vise cosinusverdien.

En kandidat som definerer sinus og cosinus riktig, men ikke klarer å skrive om $\sqrt{12}$ til $2\sqrt{3}$ , kan få full uttelling

En kandidat som argumenterer for at motstående katet er 2, fordi vinklene i trekanten er 30°, 60° og 90°, kan få full uttelling.

En kandidat som argumenterer og bruker en formlik trekant, kan få full uttelling.

En kandidat som velger en riktig strategi og gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Et riktig svar som ikke er skrevet på enklest mulig måte, gir full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Trigonometri, Geometri
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal

Eksakte verdier av sin og cos 30 grader 1T V26

Sync på tvers av enheter

Eksakte verdier av sin og cos 30 grader 1T V26

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave