Eksakte verdier av sin og cos 30 grader 1T V26

Del 1 · oppgave 7
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Eksakte verdier av sin og cos 30 grader 1T V26

Likebeint trekant med toppvinkel 30 grader og siden 4

Bruk trekanten ovenfor til å vise at sin⁡30°=12\sin 30\degree = \frac{1}{2} og at cos⁡30°=32\cos 30\degree = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Bestem arealet av trekanten nedenfor.

Bestem omkretsen av trekanten nedenfor.

Smal trekant med side 10 rot 3, vinkel 30 grader og grunnflate 4

Fasit

Se løsningsforslag

Areal=103\text{Areal} = 10\sqrt{3}

Omkrets=18+103\text{Omkrets} = 18 + 10\sqrt{3}

LøsningsforslagKI-generert

Den likebeinte trekanten i oppgaven har toppvinkel 30°30° og de to like sidene har lengde 44.

Vi speiler trekanten om én av de like sidene og setter de to trekantene sammen til én stor trekant. Den store trekanten har tre vinkler på 60°60° og alle tre sidene er 44, altså er den likebeint.

Vi trekker nå høyden fra toppen ned til grunnflaten i den likesidede trekanten. Høyden deler trekanten i to like rettvinklede trekanter. Hver av disse rettvinklede trekantene har:

  • Hypotenuse: 44 (en side av den likesidede trekanten)
  • Kortkatet: 42=2\dfrac{4}{2} = 2 (halve grunnflaten)
  • Vinkel mot hypotenuse ved grunnflaten: 60°60°
  • Vinkel mot hypotenuse ved toppen: 30°30°

I den rettvinklede trekanten kan vi nå lese av:

sin⁡30°=motsta˚ende katethypotenuse=24=12‾‾\sin 30° = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenuse}} = \frac{2}{4} = \underline{\underline{\frac{1}{2}}}

For å finne lengstkateten hh (høyden) bruker vi Pytagoras:

h2+22=42  ⟹  h2=16−4=12  ⟹  h=23h^2 + 2^2 = 4^2 \implies h^2 = 16 - 4 = 12 \implies h = 2\sqrt{3}

Dermed er:

cos⁡30°=hosliggende katethypotenuse=234=32‾‾\cos 30° = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenuse}} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \underline{\underline{\frac{\sqrt{3}}{2}}}

Trekanten har to sider på 10310\sqrt{3} og 44 med 30°30° mellom dem. Vi bruker arealsetningen:

A=12⋅a⋅b⋅sin⁡C=12⋅103⋅4⋅sin⁡30°A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \sin 30°

Vi setter inn sin⁡30°=12\sin 30° = \dfrac{1}{2}:

A=12⋅103⋅4⋅12=103A = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = \textbf{10}\boldsymbol{\sqrt{3}}

Arealet er 103‾‾\underline{\underline{10\sqrt{3}}}.

La xx være den ukjente siden (motstående 30°30°-vinkelen). Vi bruker cosinussetningen:

x2=a2+b2−2abcos⁡C=(103)2+42−2⋅103⋅4⋅cos⁡30°x^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = (10\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2 \cdot 10\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos 30°

Vi setter inn cos⁡30°=32\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}:

x2=300+16−803⋅32=316−40⋅3=316−120=196\begin{aligned} x^2 &= 300 + 16 - 80\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 316 - 40 \cdot 3 \\ &= 316 - 120 \\ &= 196 \end{aligned} x=196=14x = \sqrt{196} = 14

Omkretsen er:

O=103+4+14=18+103‾‾O = 10\sqrt{3} + 4 + 14 = \underline{\underline{18 + 10\sqrt{3}}}
Oppgavedata
Kategori
2
Vanskegrad
2
Poeng
5
Temaer
trigonometri, geometri
Kompetansemål
  • Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
  • Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne
  • Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal