Effektformel vindturbin

En vindturbin henter energi fra luft i bevegelse.

Formelen for hvor mye effekt en vindturbin leverer, ser slik ut:

P = \frac{v^3 \cdot A \cdot \rho \cdot \eta}{2}

$P$ er effekt i watt, $v$ er vindhastighet i meter i sekundet, $A$ er arealet som bladene dekker på én rotasjon, $\rho$ er egenvekten til luft, og $\eta$ er virkningsgraden til turbinen.

Vindturbinen er konstruert for drift med følgende verdier:

Vindhastighet	$v = 10 \mathrm{~m/s}$
Virkningsgrad	$\eta = {,}5$
Areal	$A = 20 \mathrm{~m^2}$
Egenvekten til luft	$\rho = 1{,}3 \mathrm{~kg/m^3}$

Finn den leverte effekten ( $P$ ) til vindturbinen. Husk å begrunne svaret ditt.

Hva må $A$ av bladene til vindturbinen være hvis effekten skal være $9425 \mathrm{~W}$ med samme vindhastighet?

Hva gir størst økning i effekt: en dobling av rotorarealet $A$ eller en dobling av vindhastigheten $v$ ? Gjør utregninger og begrunn svaret ditt.

Fasit

$P = 6500 \, \mathrm{W}$

$A = 29 \, \mathrm{m}^2$

Dobling av $v$ gir størst økning (faktor 8 mot faktor 2)

Løsningsforslag

Vi setter inn de oppgitte verdiene i formelen:

P = \frac{v^3 \cdot A \cdot \rho \cdot \eta}{2} = \frac{10^3 \cdot 20 \cdot 1{,}3 \cdot 0{,}5}{2} = \frac{130\,000}{2} = \underline{\underline{6500 \, \mathrm{W}}}

Vi løser for $A$ når $P = 9425 \, \mathrm{W}$ :

\begin{aligned} 9425 &= \frac{10^3 \cdot A \cdot 1{,}3 \cdot 0{,}5}{2} \\ 9425 &= 325 \cdot A \\ A &= \frac{9425}{325} = \underline{\underline{29 \, \mathrm{m}^2}} \end{aligned}

Vi beregner effekten ved dobling av $A$ og ved dobling av $v$ :

Dobling av $A$ (fra 20 til 40 m²):

P = \frac{10^3 \cdot 40 \cdot 1{,}3 \cdot 0{,}5}{2} = 13\,000 \, \mathrm{W}

Det er 2 ganger den opprinnelige effekten.

Dobling av $v$ (fra 10 til 20 m/s):

P = \frac{20^3 \cdot 20 \cdot 1{,}3 \cdot 0{,}5}{2} = \frac{8000 \cdot 20 \cdot 0{,}65}{1} = 52\,000 \, \mathrm{W}

Det er 8 ganger den opprinnelige effekten.

Dobling av vindhastigheten $v$ gir størst økning. Fordi $v$ er opphøyd i tredje potens i formelen, gir en dobling av $v$ en økning med faktoren $2^3 = 8$ , mens dobling av $A$ bare gir dobbel effekt.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: formler, elektrofag, potensregning
Kompetansemål: Tolke og bruke formlar som gjeld daglegliv og yrkesliv
Bruke trigonometri til å rekne ut lengder, vinklar og areal i trekantar i problemløysing innanfor elektro og datateknologi