Vi deriverer $f(x)=10(1-x)e^{-x}$ med produktregelen, med $u=10(1-x)$, $u^{\prime }=-10$, $v=e^{-x}$, $v^{\prime }=-e^{-x}$:

Siden $e^{-x}>0$ for alle $x$, bestemmes fortegnet til $f^{\prime }(x)$ av faktoren $(x-2)$:

$f$ er altså avtagende på $⟨0,2⟩$ og voksende på $⟨2,10⟩$. Dette gir et bunnpunkt der $f^{\prime }$ skifter fra negativt til positivt, altså ved $x=2$:

Bunnpunkt: $\underline{\underline{(2,-10e^{-2})}\approx (2,-\mathrm{1,35})}$. Siden $f^{\prime }$ ikke skifter fra positivt til negativt noe sted i det indre av $[\mathrm{0,10}]$, har $f$ intet toppunkt der. (Den største funksjonsverdien på intervallet er i venstre endepunkt, $f(0)=10$, men dette regnes ikke som et toppunkt siden $f^{\prime }(0)\ne 0$.)

Vi deriverer $f^{\prime }(x)=10(x-2)e^{-x}$ på samme måte:

Fortegnet bestemmes av $(3-x)$:

$f^{\prime \prime }$ skifter fortegn ved $x=3$, så grafen har et vendepunkt der:

Vendepunkt: $\underline{\underline{(3,-20e^{-3})}\approx (3,-\mathrm{1,00})}$.

Dette stemmer med CAS-utregningen av $f^{\prime }$, $f^{\prime \prime }$ og vendepunktet:

Vi bruker at $f$ er avtagende på $⟨\mathrm{0,2}⟩$ med bunnpunkt $(2,-10e^{-2})$, deretter voksende med vendepunkt $(3,-20e^{-3})$ og flater ut mot $x$-aksen når $x$ øker. Grafen krysser $x$-aksen i $x=1$ (der $1-x=0$), er positiv for $x<1$ og negativ for $x>1$:

Siden $f(x)=10(1-x)e^{-x}$ har nullpunkt i $x=1$, er $f(x)>0$ på $[\mathrm{0,1}]$ og $f(x)<0$ på $[\mathrm{1,10}]$. Det samlede arealet blir dermed

CAS gir de to integralene:

Dette gir

Det samlede arealet er $\underline{\underline{A\approx \mathrm{7,35}}}$ arealenheter.

Siden $f=g^{\prime }$, forteller fortegnet til $f$ oss om $g$ er voksende eller avtagende:

• $f(x)>0$ for $x\in ⟨\mathrm{0,1}⟩$ $\Rightarrow$ $g$ er voksende på $⟨\mathrm{0,1}⟩$.
• $f(x)<0$ for $x\in ⟨\mathrm{1,10}⟩$ $\Rightarrow$ $g$ er avtagende på $⟨\mathrm{1,10}⟩$.

Siden $g^{\prime }=f$ skifter fortegn fra positivt til negativt i $x=1$, har $g$ et toppunkt ved $x=1$.

Vendepunkt for $g$ finner vi der $g^{\prime \prime }=f^{\prime }$ skifter fortegn, altså der grafen til $f$ selv har bunn- eller toppunkt. Fra a) vet vi at $f^{\prime }$ skifter fortegn (fra negativt til positivt) i $x=2$. Da skifter $g^{\prime \prime }$ fortegn fra negativt til positivt der, og $g$ har et vendepunkt ved $x=2$.

Det finnes ikke noe bunnpunkt for $g$ i det indre av intervallet, siden $f$ ikke skifter fortegn fra negativt til positivt noe annet sted enn i endepunktet.

Oppsummering: $\underline{\underline{g}}$ vokser på $⟨\mathrm{0,1}⟩$, avtar på $⟨\mathrm{1,10}⟩$, har toppunkt ved $x=1$ og vendepunkt ved $x=2$.