Vi setter $u=e^x$. Da er $e^{2x}={(e^x)}^2=u^2$, og likningen $f(x)=0$ blir

Vi faktoriserer (eller bruker abc-formelen):

Vi går tilbake til $x$ ved å løse $e^x=u$ for hver løsning:

Nullpunktene til $f$ er $\underline{\underline{x=0}}$ og $\underline{\underline{x=\ln 3\approx \mathrm{1,10}}}$.

Vi deriverer $f$ ved hjelp av kjerneregelen:

For å finne eventuelle topp- og bunnpunkt løser vi $f^{\prime }(x)=0$:

Siden $e^x>0$ for alle $x$, må den andre faktoren være null:

Vi undersøker fortegnet til $f^{\prime }(x)=2e^x(e^x-2)$ rundt $x=\ln 2$. Faktoren $2e^x$ er alltid positiv, så fortegnet bestemmes av $e^x-2$:

• For $x<\ln 2$ er $e^x<2$, så $f^{\prime }(x)<0$ (fallende).
• For $x>\ln 2$ er $e^x>2$, så $f^{\prime }(x)>0$ (voksende).

$f$ er altså fallende før $x=\ln 2$ og voksende etter, så $x=\ln 2$ gir et bunnpunkt. Vi finner funksjonsverdien ved å sette $u=e^{\ln 2}=2$ inn i $f(x)=u^2-4u+3$:

$f$ har et $\underline{\underline{\text{bunnpunkt i }(\ln 2,-1)\approx (\mathrm{0,69},-1)}}$. Siden $f^{\prime }(x)$ bare skifter fortegn én gang, har $f$ ikke noe toppunkt.

Vi deriverer $f^{\prime }(x)$ for å finne $f^{\prime \prime }(x)$:

Vi løser $f^{\prime \prime }(x)=0$:

Siden $e^x>0$, må $e^x-1=0$, altså $e^x=1$, som gir $x=0$.

Vi undersøker fortegnet til $f^{\prime \prime }(x)=4e^x(e^x-1)$ rundt $x=0$:

• For $x<0$ er $e^x<1$, så $f^{\prime \prime }(x)<0$ (konkav, vender ned).
• For $x>0$ er $e^x>1$, så $f^{\prime \prime }(x)>0$ (konveks, vender opp).

Fortegnet til $f^{\prime \prime }$ skifter ved $x=0$, så dette er et vendepunkt. Funksjonsverdien er

$f$ har et $\underline{\underline{\text{vendepunkt i }(0,0)}}$.

Vi bruker resultatene fra a)–c) til å skissere grafen. Når $x\to -\infty$ går $e^{2x}\to 0$ og $e^x\to 0$, slik at $f(x)\to 3$ — grafen nærmer seg altså den horisontale asymptoten $y=3$ mot venstre. Grafen faller gjennom vendepunktet $(0,0)$ og videre ned til bunnpunktet $(\ln 2,-1)\approx (\mathrm{0,69},-1)$, før den vokser gjennom det andre nullpunktet $(\ln 3,0)\approx (\mathrm{1,10},0)$ og videre mot uendelig når $x\to \infty$.

Grafen starter altså nær $y=3$ langt til venstre, faller monotont gjennom $(\mathrm{0,0})$ og $(\ln 2,-1)$, og vokser deretter monotont gjennom $(\ln 3,0)$ mot uendelig.