Diskret sannsynlighetsfordeling (s2 h16)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel $X$ er gitt ved denne tabellen:

$t$	$r$	$-1$	$0$	$2$
$P(X=t)$	$0{,}1$	$0{,}3$	$0{,}2$	$p$

Forklar hvorfor $p$ må være lik $0{,}4$ .

Bestem $r$ dersom $\text{E}(X) = 1$ .

Vi setter nå $r = -5$ . Bestem $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$ .

Fasit

$p = 0{,}4$

$r = 5$

$\text{E}(X) = 0$ , $\text{Var}(X) = 4{,}4$

LøsningsforslagKI-generert

Summen av alle sannsynligheter i en sannsynlighetsfordeling må være lik 1:

0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}2 + p = 1

0{,}6 + p = 1

p = 0{,}4

Forventningsverdien er gitt ved $\text{E}(X) = \sum t \cdot P(X = t)$ . Vi setter inn de kjente verdiene og bruker at $\text{E}(X) = 1$ :

0{,}1 \cdot r + 0{,}3 \cdot (-1) + 0{,}2 \cdot 0 + 0{,}4 \cdot 2 = 1

0{,}1r - 0{,}3 + 0 + 0{,}8 = 1

0{,}1r + 0{,}5 = 1

0{,}1r = 0{,}5

r = 5

Med $r = -5$ ser sannsynlighetsfordelingen slik ut:

$t$	$-5$	$-1$	$0$	$2$
$P(X=t)$	$0{,}1$	$0{,}3$	$0{,}2$	$0{,}4$

Forventningsverdi:

\text{E}(X) = 0{,}1 \cdot (-5) + 0{,}3 \cdot (-1) + 0{,}2 \cdot 0 + 0{,}4 \cdot 2

= -0{,}5 - 0{,}3 + 0 + 0{,}8 = 0

Varians:

\text{Var}(X) = \sum P(X=t) \cdot (t - \text{E}(X))^2

= 0{,}1 \cdot (-5 - 0)^2 + 0{,}3 \cdot (-1 - 0)^2 + 0{,}2 \cdot (0 - 0)^2 + 0{,}4 \cdot (2 - 0)^2

= 0{,}1 \cdot 25 + 0{,}3 \cdot 1 + 0{,}2 \cdot 0 + 0{,}4 \cdot 4

= 2{,}5 + 0{,}3 + 0 + 1{,}6 = 4{,}4

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter