Diskret sannsynlighetsfordeling med ukjente parametere

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel $X$ er gitt ved følgende tabell:

$t$	$- 2$	$- 1$	$0$	$2$	$k$
$P (X = t)$	$0,2$	$0,1$	$0,4$	$0,2$	$p$

Forklar hvorfor $p$ må være lik $0,1$ .

Hva må $k$ være dersom vi vet at $E (X) = 0,3$ ?

Vi setter $k = 1$ . Bestem $E (X)$ og $Var (X)$ .

Fasit

$p = 0,1$ fordi summen av alle sannsynligheter må være 1

$k = 4$

$E (X) = 0$ , $Var (X) = 1,8$

LøsningsforslagKI-generert

Summen av alle sannsynligheter i en sannsynlighetsfordeling må alltid være lik 1:

0,2 + 0,1 + 0,4 + 0,2 + p = 1

0,9 + p = 1

p = 0,1

Forventningsverdien er definert ved:

E (X) = \sum_{t} t \cdot P (X = t)

Vi setter inn alle verdiene fra tabellen (med $p = 0,1$ ):

E (X) = (- 2) \cdot 0,2 + (- 1) \cdot 0,1 + 0 \cdot 0,4 + 2 \cdot 0,2 + k \cdot 0,1

= - 0,4 - 0,1 + 0 + 0,4 + 0,1 k

= - 0,1 + 0,1 k

Vi vet at $E (X) = 0,3$ , så:

- 0,1 + 0,1 k = 0,3

0,1 k = 0,4

k = 4

Med $k = 1$ ser tabellen slik ut:

$t$	$- 2$	$- 1$	$0$	$2$	$1$
$P (X = t)$	$0,2$	$0,1$	$0,4$	$0,2$	$0,1$

Forventningsverdi:

E (X) = (- 2) \cdot 0,2 + (- 1) \cdot 0,1 + 0 \cdot 0,4 + 2 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,1

= - 0,4 - 0,1 + 0 + 0,4 + 0,1

E (X) = 0

Varians:

Vi bruker formelen $Var (X) = E (X^{2}) - {[E (X)]}^{2}$ .

Først regner vi ut $E (X^{2})$ :

E (X^{2}) = {(- 2)}^{2} \cdot 0,2 + {(- 1)}^{2} \cdot 0,1 + 0^{2} \cdot 0,4 + 2^{2} \cdot 0,2 + 1^{2} \cdot 0,1

= 4 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,1 + 0 + 4 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,1

= 0,8 + 0,1 + 0,8 + 0,1 = 1,8

Dermed:

Var (X) = 1,8 - 0^{2} = 1,8

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2012, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Varians og standardavvik

Innstillinger