Differensiallikning ved separasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Differensiallikningen $y^{'} = x \cdot y$ er gitt.

Bestem den generelle løsningen av differensiallikningen.

Bestem den spesielle løsningen når $y (2) = 5$ .

Fasit

$y = A \cdot e^{\frac{x^{2}}{2}}$

$y = 5 e^{\frac{x^{2}}{2} - 2}$

LøsningsforslagKI-generert

Differensiallikningen $y^{'} = x \cdot y$ er separabel. Vi skriver $y^{'} = \frac{d y}{d x}$ og separerer variablene (forutsatt $y \neq 0$ ):

\frac{d y}{y} = x d x

Vi integrerer på begge sider:

\int \frac{1}{y} d y = \int x d x

\ln | y | = \frac{x^{2}}{2} + C

Vi løser for $y$ ved å ta eksponentialfunksjonen av begge sider:

| y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C} = e^{C} \cdot e^{\frac{x^{2}}{2}}

Siden $e^{C}$ er en positiv konstant, kan vi kalle $A = \pm e^{C}$ (og $A = 0$ svarer til den trivielle løsningen $y = 0$ ). Den generelle løsningen er dermed

y = A \cdot e^{\frac{x^{2}}{2}}, A \in ℝ

Vi setter inn $y (2) = 5$ i den generelle løsningen:

5 = A \cdot e^{\frac{2^{2}}{2}} = A \cdot e^{2}

Dette gir

A = \frac{5}{e^{2}} = 5 e^{- 2}

Den spesielle løsningen er derfor

y = 5 e^{- 2} \cdot e^{\frac{x^{2}}{2}} = 5 e^{\frac{x^{2}}{2} - 2}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2017, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Differensiallikning, Integrasjon

Differensiallikning ved separasjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Differensiallikning ved separasjon

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Differensiallikning ved separasjon

Differensiallikning ved separasjon

Lov på eksamen

Temaer