Differensiallikning separabel første ordens

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem den generelle løsningen for differensiallikningen

y^{'} + 2 x y = 4 x

Fasit

$y = 2 + C \cdot e^{- x^{2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Likningen $y^{'} + 2 x y = 4 x$ er en lineær differensiallikning av første orden på formen $y^{'} + p (x) y = q (x)$ med $p (x) = 2 x$ . Vi løser den ved hjelp av en integrerende faktor:

μ (x) = e^{\int p (x) d x} = e^{\int 2 x d x} = e^{x^{2}}

Vi multipliserer begge sider av likningen med $μ (x) = e^{x^{2}}$ :

e^{x^{2}} y^{'} + 2 x e^{x^{2}} y = 4 x e^{x^{2}}

Venstre side er den deriverte av produktet $y \cdot e^{x^{2}}$ :

\frac{d}{d x} (y \cdot e^{x^{2}}) = 4 x e^{x^{2}}

Vi integrerer begge sider med hensyn på $x$ . Høyresiden løses ved substitusjon $u = x^{2}$ , som gir $\int 4 x e^{x^{2}} d x = 2 e^{x^{2}} + C$ :

y \cdot e^{x^{2}} = 2 e^{x^{2}} + C

Til slutt løser vi for $y$ ved å dele på $e^{x^{2}}$ :

y = 2 + C \cdot e^{- x^{2}}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2015, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Differensiallikning

Differensiallikning separabel første ordens

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Differensiallikning separabel første ordens

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Differensiallikning separabel første ordens

Differensiallikning separabel første ordens

Lov på eksamen

Temaer