Differensiallikning med tangent og bestemmelse av punkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt differensiallikningen

y^{'} + \frac{1}{x} \cdot y = 1

En av løsningene til differensiallikningen har et punkt $P$ på grafen der tangenten i $P$ er gitt ved $y = - x - 6$ .

Bestem koordinatene til $P$ .

Fasit

$P (- 2, - 4)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser differensiallikningen

y^{'} + \frac{1}{x} \cdot y = 1

Ved å multiplisere begge sider med $x$ ser vi at venstresiden blir den deriverte av produktet $x y$ :

x y^{'} + y = x \Leftrightarrow {(x y)}^{'} = x

Vi integrerer på begge sider:

x y = \frac{x^{2}}{2} + C

y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}

Den deriverte av løsningen er

y^{'} = \frac{1}{2} - \frac{C}{x^{2}}

I punktet $P (x_{P}, y_{P})$ på grafen er tangenten gitt ved $y = - x - 6$ . Dette gir to betingelser: stigningstallet til tangenten må stemme med $y^{'} (x_{P})$ , og punktet $P$ må ligge på både grafen til $y$ og på tangentlinja.

Stigningstall:

y^{'} (x_{P}) = - 1 \Rightarrow \frac{1}{2} - \frac{C}{x_{P}^{2}} = - 1 \Rightarrow C = \frac{3}{2} x_{P}^{2}

Punktet ligger på grafen og på tangenten, altså $y (x_{P}) = - x_{P} - 6$ :

\frac{x_{P}}{2} + \frac{C}{x_{P}} = - x_{P} - 6

Vi setter inn $C = \frac{3}{2} x_{P}^{2}$ :

\frac{x_{P}}{2} + \frac{\frac{3}{2} x_{P}^{2}}{x_{P}} = \frac{x_{P}}{2} + \frac{3}{2} x_{P} = 2 x_{P}

2 x_{P} = - x_{P} - 6

3 x_{P} = - 6 \Rightarrow x_{P} = - 2

Da er $C = \frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} = 6$ , og

y_{P} = \frac{- 2}{2} + \frac{6}{- 2} = - 1 - 3 = - 4

Kontroll: tangentlinja $y = - x - 6$ gir ved $x = - 2$ : $y = 2 - 6 = - 4$ , som stemmer.

Svar: $P (- 2, - 4)$

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2021, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Differensiallikning, Derivasjon

Differensiallikning med tangent og bestemmelse av punkt

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Differensiallikning med tangent og bestemmelse av punkt

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Differensiallikning med tangent og bestemmelse av punkt

Differensiallikning med tangent og bestemmelse av punkt

Lov på eksamen

Temaer