Differensiallikning med initialverdi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs differensiallikningen

y^{'} - 3 y = 2 når y (0) = \frac{1}{3}

Fasit

$y = e^{3 x} - \frac{2}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Differensiallikningen

y^{'} - 3 y = 2

er lineær og av første orden. Vi løser den ved å bruke en integrerende faktor. Koeffisienten foran $y$ er $- 3$ , så den integrerende faktoren er

I (x) = e^{\int - 3 d x} = e^{- 3 x}

Vi multipliserer likningen med $e^{- 3 x}$ :

e^{- 3 x} y^{'} - 3 e^{- 3 x} y = 2 e^{- 3 x}

Venstre side er den deriverte av produktet $y \cdot e^{- 3 x}$ :

{(y \cdot e^{- 3 x})}^{'} = 2 e^{- 3 x}

Vi integrerer på begge sider:

y \cdot e^{- 3 x} = \int 2 e^{- 3 x} d x = - \frac{2}{3} e^{- 3 x} + C

Vi løser for $y$ ved å dele med $e^{- 3 x}$ :

y = - \frac{2}{3} + C e^{3 x}

Vi bruker initialbetingelsen $y (0) = \frac{1}{3}$ til å bestemme $C$ :

\frac{1}{3} = - \frac{2}{3} + C e^{0} = - \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = 1

Den partikulære løsningen blir dermed

y = e^{3 x} - \frac{2}{3}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2014, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Differensiallikning

Innstillinger