Differensiallikning med initialverdi og tangent

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs differensiallikningen

y^{'} - 2 y = 3 når y (0) = \frac{5}{2}

Bestem likningen til tangenten i punktet $(0, \frac{5}{2})$ på grafen til $y$ .

Fasit

$y = 4 e^{2 x} - \frac{3}{2}$

$y = 8 x + \frac{5}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Differensiallikningen $y^{'} - 2 y = 3$ er lineær av første orden. Vi finner en integrerende faktor

I (x) = e^{\int - 2 d x} = e^{- 2 x}

Vi multipliserer likningen med $e^{- 2 x}$ :

e^{- 2 x} y^{'} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x}

Venstre side er den deriverte av produktet $e^{- 2 x} y$ :

{(e^{- 2 x} y)}^{'} = 3 e^{- 2 x}

Vi integrerer på begge sider:

e^{- 2 x} y = - \frac{3}{2} e^{- 2 x} + C

y = - \frac{3}{2} + C e^{2 x}

Startbetingelsen $y (0) = \frac{5}{2}$ gir

\frac{5}{2} = - \frac{3}{2} + C \Rightarrow C = 4

Dermed er

y = 4 e^{2 x} - \frac{3}{2}

Vi finner stigningstallet til tangenten ved å derivere $y$ og sette inn $x = 0$ :

y^{'} = 8 e^{2 x} \Rightarrow y^{'} (0) = 8 e^{0} = 8

Tangenten går gjennom punktet $(0, \frac{5}{2})$ med stigningstall $8$ :

y = 8 (x - 0) + \frac{5}{2} = 8 x + \frac{5}{2}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2014, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Derivasjon

Innstillinger