Medisinmengden $y(t)$ endrer seg fordi det skjer to ting samtidig:

• Pasienten tilføres medisin med en fast rate på $8\mathrm{mL}$ per time.
• Kroppen skiller ut $5\%$ av den totale medisinmengden $y$ hver time, altså $\mathrm{0,05}\cdot y$ per time.

Endringen i medisinmengde per tidsenhet, $y^{\prime }$, er tilførsel minus utskillelse:

Dette gir

Vi skal vise at $y(t)=160-160e^{-\mathrm{0,05}t}$ er en løsning av differensiallikningen $y^{\prime }=8-\mathrm{0,05}y$ med $y(0)=0$.

Startbetingelsen:

Dette stemmer med $y(0)=0$.

Differensiallikningen. Vi deriverer $y(t)$ i GeoGebra CAS og sammenligner med $8-\mathrm{0,05}y(t)$:

Fra utklippet ser vi at

og at

Siden $y^{\prime }(t)=8-\mathrm{0,05}\cdot y(t)$ for alle $t$, og $y(0)=0$, er

en løsning av differensiallikningen med det gitte startvilkåret.

Når $t\to \infty$, går $e^{-\mathrm{0,05}t}\to 0$ fordi eksponenten $-\mathrm{0,05}t\to -\infty$. Dermed

Tolkning: Medisinmengden i kroppen stabiliserer seg mot $160\mathrm{mL}$ etter lang tid. Dette gir mening fysisk: når $y=160$, er utskillelsen per time $\mathrm{0,05}\cdot 160=8\mathrm{mL}$, altså nøyaktig like mye som tilføres per time. Da er $y^{\prime }=0$, og medisinmengden holder seg konstant — kroppen har nådd en likevekt.