Nedbrytningen av virkestoffet skjer med en fart som til enhver tid er proporsjonal med mengden virkestoff $M(t)$ som er i blodet. Det betyr at nedbrytningsfarten kan skrives som $k\cdot M(t)$, der $k>0$ er en konstant. Siden nedbrytning gjør at mengden virkestoff avtar, bidrar dette med leddet $-k\cdot M(t)$ til den momentane endringsraten $M^{\prime }(t)$.

Samtidig blir pasienten tilført virkestoff med en konstant rate på $5\mathrm{mg}$ per time. Dette bidrar med leddet $+5$ til $M^{\prime }(t)$.

Den totale endringsraten er summen av tilførsel og nedbrytning, altså

Ved tidspunktet $t=0$ (start av behandlingen) har pasienten ikke fått noe virkestoff ennå, så $M(0)=0$.

Vi løser differensiallikningen

Dette er en lineær førsteordens differensiallikning. Vi bruker integrerende faktor $e^{kt}$:

Integrerer på begge sider:

Vi bruker $M(0)=0$ til å bestemme $C$:

Dette gir

For å bestemme $k$ bruker vi opplysningen $M(24)=80$:

Dette er en transcendent likning som ikke kan løses eksakt for hånd, så vi løser den grafisk/numerisk i GeoGebra ved å finne nullpunktet til $f(x)={\displaystyle \frac{5}{x}}(1-e^{-24x})-80$.

Vi finner $k\approx \mathrm{0,0364}$. Dermed er

Etter $24$ timer endres tilførselsraten til en ny, ukjent verdi $a$ mg per time. Pasienten har da $M(24)=80\mathrm{mg}$ i blodet, og dette blir det nye startpunktet. Med samme resonnement som i a) får vi differensiallikningen

Med samme fremgangsmåte som i b), men med $t$ regnet fra det nye starttidspunktet (la $s=t-24$ og $M(24)=80$), blir løsningen

Ett døgn senere (altså $s=24$, som tilsvarer $t=48$) skal $M=150$:

Vi setter inn $k\approx \mathrm{0,0364}$ og løser numerisk i GeoGebra ved å finne nullpunktet til $h(x)={\displaystyle \frac{x}{k}}(1-e^{-24k})+80e^{-24k}-150$.

Vi finner $a\approx \mathrm{7,289}$.

Svar: Pasienten må få omtrent $\underline{\underline{a\approx \mathrm{7,3}\mathrm{mg}}}$ virkestoff per time for at mengden i blodet skal være $150\mathrm{mg}$ ett døgn senere.