Differanser av tall i kvadrater på tallrute

Tallrute fra 1 til 100 med blått 2×2-kvadrat (1, 2, 11, 12) og grønt 2×2-kvadrat (27, 28, 37, 38)

I tabellen ovenfor har vi fargelagt to kvadrater.

Bestem differansen mellom tallet nederst til venstre og tallet øverst til høyre, og differansen mellom tallet nederst til høyre og tallet øverst til venstre. Bestem så produktet av de to differansene.

Du skal altså regne ut $(11-2) \cdot (12-1)$ for det blå kvadratet og $(37-28) \cdot (38-27)$ for det grønne kvadratet.

Gjør tilsvarende beregninger som i oppgave a) for flere kvadrater med samme størrelse som i oppgave a). Forklar hva du oppdager, og argumenter for at dette er riktig.

Gjør tilsvarende beregninger som i oppgave a) for kvadrater med ulike størrelser. Lag en oversikt der du presenterer resultatene på en systematisk måte. Forklar hva du oppdager, og argumenter for at dette er riktig.

Fasit

Blått kvadrat: $(11-2)\cdot(12-1) = 9 \cdot 11 = \underline{\underline{99}}$ . Grønt kvadrat: $(37-28)\cdot(38-27) = 9 \cdot 11 = \underline{\underline{99}}$ .

Produktet er alltid $\underline{\underline{99}}$ for alle 2×2-kvadrater.

For et $s \times s$ -kvadrat er produktet $\underline{\underline{99(s-1)^2}}$ .

$s$	Produkt
2	99
3	396
4	891
5	1584

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner ut differansene og produktet for hvert kvadrat:

Blått kvadrat (hjørnetall: 1, 2, 11, 12):

(11-2)\cdot(12-1) = 9 \cdot 11 = \textbf{99}

Grønt kvadrat (hjørnetall: 27, 28, 37, 38):

(37-28)\cdot(38-27) = 9 \cdot 11 = \textbf{99}

Vi prøver med flere 2×2-kvadrater og legger merke til at produktet alltid blir 99.

Algebraisk argument:

La øverst-til-venstre kalles $a$ . Siden hvert tall er 1 mer enn naboen til venstre og 10 mer enn tallet rett over, er de fire hjørnetallene:

	Venstre	Høyre
Øverst	$a$	$a+1$
Nederst	$a+10$	$a+11$

De to differansene blir:

\text{Differanse 1} = (a+10) - (a+1) = 9

\text{Differanse 2} = (a+11) - a = 11

Produktet er:

9 \cdot 11 = \underline{\underline{99}}

Dette gjelder uansett hvilken verdi $a$ har, så produktet er alltid 99 for alle 2×2-kvadrater.

Vi generaliserer til et $s \times s$ -kvadrat (dvs. $s$ celler i bredde og høyde).

Algebraisk argument:

La øverst-til-venstre fremdeles være $a$ . De fire hjørnetallene er nå:

	Venstre	Høyre
Øverst	$a$	$a+(s-1)$
Nederst	$a+10(s-1)$	$a+10(s-1)+(s-1)$

De to differansene:

\text{Differanse 1} = \left(a+10(s-1)\right) - \left(a+(s-1)\right) = 10(s-1) - (s-1) = 9(s-1)

\text{Differanse 2} = \left(a+10(s-1)+(s-1)\right) - a = 10(s-1)+(s-1) = 11(s-1)

Produktet:

9(s-1) \cdot 11(s-1) = 99(s-1)^2

Dette er uavhengig av $a$ , så produktet avhenger bare av størrelsen $s$ .

Oversikt over resultater:

Størrelse $s$	Differanse 1	Differanse 2	Produkt
2	9	11	99
3	18	22	396
4	27	33	891
5	36	44	1584

Vi oppdager at differansene vokser lineært med $(s-1)$ , og produktet vokser som $(s-1)^2$ . For eksempel er produktet for $s=3$ fire ganger så stort som for $s=2$ , siden $(3-1)^2 = 4$ og $4 \cdot 99 = 396$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 12
Temaer: Mønstre, Algebra, Utforskning
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering

Differanser av tall i kvadrater på tallrute

Sync på tvers av enheter

Differanser av tall i kvadrater på tallrute

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave