Leser av tangentene på grafen

Grafen viser tre tangenter til $f$, i tre ulike punkter:

• To av tangentene er horisontale. Den ene tangerer grafen i toppunktet $(-1,6)$, og den andre tangerer grafen i bunnpunktet $(1,2)$. Horisontale tangenter har stigningstall $0$, så

• Den tredje tangenten er en rett linje som går gjennom punktene $(-1,7)$, $(0,4)$, $(1,1)$ og $(2,-2)$, og den tangerer grafen i punktet $(0,4)$. Stigningstallet til denne linja er

Siden linja er tangent til $f$ i $x=0$, gir dette

Setter opp uttrykket for $f^{\prime }$

Siden $f$ er en tredjegradsfunksjon, er den deriverte $f^{\prime }$ en andregradsfunksjon:

Vi vet at $f^{\prime }(-1)=0$ og $f^{\prime }(1)=0$, altså er $x=-1$ og $x=1$ nullpunkter til $f^{\prime }$. Da kan vi skrive $f^{\prime }$ på faktorisert form:

Vi bruker det siste kravet, $f^{\prime }(0)=-3$, til å bestemme $a$:

Dette gir

Kontroll

Vi kan sjekke svaret ved å sette $f(x)=x^3-3x+4$ (som har $f^{\prime }(x)=3x^2-3$). Da stemmer alle avleste punkter på grafen: $f(-2)=2$, $f(-1)=6$, $f(0)=4$, $f(1)=2$ og $f(2)=6$.