Deriver tre funksjoner med kvotient og produkt

Deriver funksjonene

f (x) = x^{2} - \frac{2}{x}

g (x) = \ln (x^{2} + 1)

h (x) = x^{2} e^{x}

Fasit

$f^{'} (x) = 2 x + \frac{2}{x^{2}}$

$g^{'} (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

$h^{'} (x) = x e^{x} (x + 2)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver om $f (x) = x^{2} - \frac{2}{x}$ ved å bruke potensregler:

f (x) = x^{2} - 2 x^{- 1}

Nå kan vi derivere ledd for ledd med potensregelen ${(k x^{n})}^{'} = k n x^{n - 1}$ :

f^{'} (x) = 2 x - 2 \cdot (- 1) \cdot x^{- 2} = 2 x + 2 x^{- 2} = 2 x + \frac{2}{x^{2}}

Vi bruker kjerneregelen. Lar $u = x^{2} + 1$ være kjernen, slik at $g (x) = \ln (u)$ .

Vi vet at ${(\ln u)}^{'} = \frac{u^{'}}{u}$ , og vi finner $u^{'} = 2 x$ .

g^{'} (x) = \frac{u^{'}}{u} = \frac{2 x}{x^{2} + 1} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}

Vi bruker produktregelen ${(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .

Setter $u = x^{2}$ og $v = e^{x}$ , slik at $u^{'} = 2 x$ og $v^{'} = e^{x}$ .

h^{'} (x) = {(x^{2})}^{'} \cdot e^{x} + x^{2} \cdot {(e^{x})}^{'} = 2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}

Vi faktoriserer ut $x e^{x}$ :

h^{'} (x) = x e^{x} (2 + x) = x e^{x} (x + 2)

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2017, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon

Innstillinger