Deriver tre funksjoner med kjedel og kvotient

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = x^{2} \sin x

g (x) = e^{\cos (2 x)}

h (x) = \frac{x^{2} + 1}{2 x - 2}

Fasit

$f^{'} (x) = 2 x \sin x + x^{2} \cos x$

$g^{'} (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot e^{\cos (2 x)}$

$h^{'} (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 1}{2 {(x - 1)}^{2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker produktregelen på $f (x) = x^{2} \sin x$ med $u = x^{2}$ og $v = \sin x$ :

f^{'} (x) = u^{'} v + u v^{'} = 2 x \cdot \sin x + x^{2} \cdot \cos x = 2 x \sin x + x^{2} \cos x

Vi bruker kjerneregelen på $g (x) = e^{\cos (2 x)}$ . Den ytre funksjonen er $e^{u}$ med $u = \cos (2 x)$ :

g^{'} (x) = e^{\cos (2 x)} \cdot \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] = e^{\cos (2 x)} \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2) = - 2 \sin (2 x) \cdot e^{\cos (2 x)}

Vi bruker kvotientregelen på $h (x) = \frac{x^{2} + 1}{2 x - 2}$ med teller $u = x^{2} + 1$ og nevner $v = 2 x - 2$ :

h^{'} (x) = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} = \frac{2 x \cdot (2 x - 2) - (x^{2} + 1) \cdot 2}{{(2 x - 2)}^{2}}

Vi regner ut telleren:

4 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} - 2 = 2 x^{2} - 4 x - 2 = 2 (x^{2} - 2 x - 1)

Nevneren er ${(2 x - 2)}^{2} = 4 {(x - 1)}^{2}$ , så vi forkorter med $2$ :

h^{'} (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{4 {(x - 1)}^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x - 1}{2 {(x - 1)}^{2}}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2015, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon

Innstillinger