Vi deriverer funksjonene enkeltvis.

1) $f(x)=x^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x+4$

2) $g(x)=3e^{2x}$ — kjerneregel med $u=2x$:

3) $h(x)=x\cdot e^{2x}$ — produktregel med $u=x$ og $v=e^{2x}$:

4) $i(x)=\ln (x^2+4)$ — kjerneregel med $u=x^2+4$:

Rekken $4+7+10+13+\cdots$ er en aritmetisk rekke med

$a_n$: Vi bruker formelen $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$:

$S_n$: Vi bruker sumformelen $S_n={\displaystyle \frac{n}{2}}(a_1+a_n)$:

Venstresiden $x+x^2+x^3+\cdots$ er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_1=x$ og kvotient $k=x$.

For $x\in ⟨-1,1⟩$ konvergerer rekken, og vi bruker formelen $S={\displaystyle \frac{a_1}{1-k}}$:

1) Siden $(x+4)$ skal gå opp i $f(x)=x^3+ax+12$, må $x=-4$ være et nullpunkt:

2) Vi utfører polynomdivisjon av $f(x)=x^3-13x+12$ med $(x+4)$:

Vi sjekker: $(x+4)(x^2-4x+3)=x^3-4x^2+3x+4x^2-16x+12=x^3-13x+12$ ✓

Vi faktoriserer andregradsfaktoren $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$, så

Vi skriver opp delsummene:

Vi legger merke til at $S_1=1^3$, $S_2=2^3$, $S_3=3^3$, $S_4=4^3$.

Vi gjetter at $S_n=n^3$, og sjekker: $a_n=S_n-S_{n-1}=n^3-{(n-1)}^3$.

Vi verifiserer: $a_1=3-3+1=1$ ✓, $a_2=12-6+1=7$ ✓, $a_3=27-9+1=19$ ✓, $a_4=48-12+1=37$ ✓

Derfor er

1) $f^{\prime }(x)=a(x+1)(x-2)$ med $a<0$.

Nullpunktene er $x=-1$ og $x=2$. Siden $a<0$ er parabelen (andregrad) åpen nedover.

Fortegnslinje for $f^{\prime }(x)$:

• $f^{\prime }(x)<0$ for $x<-1$: $f$ er synkende
• $f^{\prime }(x)>0$ for $-1<x<2$: $f$ er stigende
• $f^{\prime }(x)<0$ for $x>2$: $f$ er synkende

Fortegnskiftet i $f^{\prime }$ gir:

• $x=-1$: skifter fra $-$ til $+$ → bunnpunkt
• $x=2$: skifter fra $+$ til $-$ → toppunkt

2) Vi utvider $f^{\prime }(x)=a(x+1)(x-2)=a(x^2-x-2)=a{x}^2-ax-2a$ og deriverer:

$f^{\prime \prime }(x)=0$ gir $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Siden $a\ne 0$ skifter $f^{\prime \prime }$ fortegn her, så $f$ har et vendepunkt ved $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Sannsynlighetsfordelingen er

Forventningsverdi:

Varians: