Derivasjonsregler og rekker og funksjonsdrøfting

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = x^2 + \dfrac{1}{2}x + 4

g(x) = 3e^{2x}

h(x) = x \cdot e^{2x}

i(x) = \ln\!\left(x^2 + 4\right)

Vi har gitt rekken

4 + 7 + 10 + 13 + \cdots

Bestem $a_n$ og $S_n$

Løs likningen

x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots = 3 \qquad \text{når } x \in \langle -1,\, 1 \rangle

Vi har gitt polynomfunksjonen

f(x) = x^3 + ax + 12

Bestem $a$ slik at divisjonen $f(x):(x+4)$ går opp.

Utfør divisjonen, og skriv $f(x)$ som et produkt av førstegradsfaktorer for denne $a$ -verdien.

Vi har gitt rekken

1 + 7 + 19 + 37 + \cdots

Skriv opp $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ og bestem $S_{100}$

For en funksjon $f$ har vi gitt at

f'(x) = a(x+1)(x-2) \qquad \text{der } a < 0

Tegn fortegnslinjen til $f'(x)$ . Bruk denne til å bestemme $x$ -verdien til topp- og bunnpunkt på grafen til $f$ . Bestem også hvor grafen til $f$ stiger og synker.

Bestem $f''(x)$ . Bruk denne til å bestemme $x$ -verdien til vendepunktet.

Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel $X$ er gitt ved

$x$	$0$	$1$
$P(X=x)$	$1-p$	$p$

Bestem $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$ uttrykt ved $p$ .

Fasit

1) $f'(x) = 2x + \dfrac{1}{2}$ 2) $g'(x) = 6e^{2x}$ 3) $h'(x) = e^{2x}(1+2x)$ 4) $i'(x) = \dfrac{2x}{x^2+4}$

$a_n = 3n+1$ , $\quad S_n = \dfrac{n(3n+5)}{2}$

$\underline{\underline{x = \dfrac{3}{4}}}$

1) $\underline{\underline{a = -13}}$ 2) $f(x) = (x+4)(x-1)(x-3)$

$\underline{\underline{S_{100} = 1\,000\,000}}$

1) Bunnpunkt ved $x = -1$ , toppunkt ved $x = 2$ 2) Vendepunkt ved $x = \dfrac{1}{2}$

$\text{E}(X) = p$ , $\quad \text{Var}(X) = p(1-p)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer funksjonene enkeltvis.

1) $f(x) = x^2 + \dfrac{1}{2}x + 4$

f'(x) = 2x + \dfrac{1}{2}

2) $g(x) = 3e^{2x}$ — kjerneregel med $u = 2x$ :

g'(x) = 3 \cdot 2 \cdot e^{2x} = \textcolor{seagreen}{6e^{2x}}

3) $h(x) = x \cdot e^{2x}$ — produktregel med $u = x$ og $v = e^{2x}$ :

h'(x) = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x) = \textcolor{seagreen}{e^{2x}(1+2x)}

4) $i(x) = \ln(x^2 + 4)$ — kjerneregel med $u = x^2 + 4$ :

i'(x) = \frac{1}{x^2+4} \cdot 2x = \textcolor{seagreen}{\frac{2x}{x^2+4}}

Rekken $4 + 7 + 10 + 13 + \cdots$ er en aritmetisk rekke med

a_1 = 4, \qquad d = 3

$a_n$ : Vi bruker formelen $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ :

a_n = 4 + (n-1) \cdot 3 = 4 + 3n - 3 = \textcolor{seagreen}{3n + 1}

$S_n$ : Vi bruker sumformelen $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n)$ :

S_n = \frac{n}{2}(4 + 3n + 1) = \frac{n}{2}(3n + 5) = \textcolor{seagreen}{\frac{n(3n+5)}{2}}

Venstresiden $x + x^2 + x^3 + \cdots$ er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_1 = x$ og kvotient $k = x$ .

For $x \in \langle -1,\, 1 \rangle$ konvergerer rekken, og vi bruker formelen $S = \dfrac{a_1}{1-k}$ :

\frac{x}{1-x} = 3

x = 3(1-x) = 3 - 3x

4x = 3

\underline{\underline{x = \frac{3}{4}}}

1) Siden $(x+4)$ skal gå opp i $f(x) = x^3 + ax + 12$ , må $x = -4$ være et nullpunkt:

f(-4) = (-4)^3 + a \cdot (-4) + 12 = 0

-64 - 4a + 12 = 0

-4a = 52

\underline{\underline{a = -13}}

2) Vi utfører polynomdivisjon av $f(x) = x^3 - 13x + 12$ med $(x+4)$ :

x^3 - 13x + 12 = (x+4) \cdot (x^2 - 4x + 3)

Vi sjekker: $(x+4)(x^2-4x+3) = x^3-4x^2+3x+4x^2-16x+12 = x^3-13x+12$ ✓

Vi faktoriserer andregradsfaktoren $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$ , så

\underline{\underline{f(x) = (x+4)(x-1)(x-3)}}

Vi skriver opp delsummene:

S_1 = 1, \quad S_2 = 1+7 = 8, \quad S_3 = 8+19 = 27, \quad S_4 = 27+37 = 64

Vi legger merke til at $S_1 = 1^3$ , $S_2 = 2^3$ , $S_3 = 3^3$ , $S_4 = 4^3$ .

Vi gjetter at $S_n = n^3$ , og sjekker: $a_n = S_n - S_{n-1} = n^3 - (n-1)^3$ .

n^3 - (n-1)^3 = n^3 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) = 3n^2 - 3n + 1

Vi verifiserer: $a_1 = 3-3+1=1$ ✓, $a_2 = 12-6+1=7$ ✓, $a_3 = 27-9+1=19$ ✓, $a_4 = 48-12+1=37$ ✓

Derfor er

\underline{\underline{S_{100} = 100^3 = 1\,000\,000}}

1) $f'(x) = a(x+1)(x-2)$ med $a < 0$ .

Nullpunktene er $x = -1$ og $x = 2$ . Siden $a < 0$ er parabelen (andregrad) åpen nedover.

Fortegnslinje for $f'(x)$ :

\begin{array}{c|ccccc} x & & -1 & & 2 & \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \end{array}

$f'(x) < 0$ for $x < -1$ : $f$ er synkende
$f'(x) > 0$ for $-1 < x < 2$ : $f$ er stigende
$f'(x) < 0$ for $x > 2$ : $f$ er synkende

Fortegnskiftet i $f'$ gir:

$x = -1$ : skifter fra $-$ til $+$ → bunnpunkt
$x = 2$ : skifter fra $+$ til $-$ → toppunkt

2) Vi utvider $f'(x) = a(x+1)(x-2) = a(x^2 - x - 2) = ax^2 - ax - 2a$ og deriverer:

f''(x) = 2ax - a = a(2x-1)

$f''(x) = 0$ gir $x = \dfrac{1}{2}$ .

Siden $a \neq 0$ skifter $f''$ fortegn her, så $f$ har et vendepunkt ved $x = \dfrac{1}{2}$ .

Sannsynlighetsfordelingen er

$x$	$0$	$1$
$P(X=x)$	$1-p$	$p$

Forventningsverdi:

\text{E}(X) = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = \textcolor{seagreen}{p}

Varians:

\text{E}(X^2) = 0^2 \cdot (1-p) + 1^2 \cdot p = p

\text{Var}(X) = \text{E}(X^2) - [\text{E}(X)]^2 = p - p^2 = \textcolor{seagreen}{p(1-p)}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 24
Temaer: Derivasjon, Rekker, Uendelig rekke, Funksjonsdrøfting, Polynomdivisjon, Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Varians

Derivasjonsregler og rekker og funksjonsdrøfting

Sync på tvers av enheter

Derivasjonsregler og rekker og funksjonsdrøfting

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave