Derivasjon og graffortolkning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \sqrt{x} + 2

Funksjon $g$ gitt ved

g (x) = \frac{2 x - 3}{e^{x}}

er kontinuerlig og deriverbar for alle $x \in ℝ$ .

Bestem $g^{'} (2)$ og $g^{'} (3)$ .

Hva forteller svarene i oppgave b om grafen til $g$ når $x \in [2, 3]$ ?

Fasit

$f^{'} (x) = x^{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

$g^{'} (2) = \frac{1}{e^{2}}$ , $g^{'} (3) = - \frac{1}{e^{3}}$

$g$ har et toppunkt i $⟨ 2, 3 ⟩$

Løsningsforslag

Vi skriver om $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{1 / 2} + 2$ og deriverer ledd for ledd:

f^{'} (x) = x^{2} + \frac{1}{2} x^{- 1 / 2} = x^{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}

$f^{'} (x) = x^{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Vi bruker kvotientsregelen på $g (x) = \frac{2 x - 3}{e^{x}}$ :

g^{'} (x) = \frac{2 \cdot e^{x} - (2 x - 3) \cdot e^{x}}{e^{2 x}} = \frac{e^{x} (2 - (2 x - 3))}{e^{2 x}} = \frac{5 - 2 x}{e^{x}}

Da er

g^{'} (2) = \frac{5 - 4}{e^{2}} = \frac{1}{e^{2}} \approx 0,14 og g^{'} (3) = \frac{5 - 6}{e^{3}} = - \frac{1}{e^{3}} \approx - 0,05

$g^{'} (2) = \frac{1}{e^{2}} \approx 0,14$ og $g^{'} (3) = - \frac{1}{e^{3}} \approx - 0,05$

Siden $g^{'} (2) > 0$ er $g$ stigende i $x = 2$ , og siden $g^{'} (3) < 0$ er $g$ avtagende i $x = 3$ . Dermed må $g$ ha et toppunkt et sted i det åpne intervallet $⟨ 2, 3 ⟩$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Kandidaten må derivere to av leddene riktig for å få 1 poeng.

1 poeng for å derivere uttrykket og 1 poeng for å regne ut verdiene av de deriverte.

Kandidaten må kommentere fortegnet til deriverte for å få uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2025, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Funksjoner
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon

Derivasjon og graffortolkning

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Derivasjon og graffortolkning

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Derivasjon og graffortolkning

Derivasjon og graffortolkning

Lov på eksamen

Temaer