Derivasjon og graffortolkning

Deriver funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \sqrt{x} + 2

Funksjon $g$ gitt ved

g(x) = \frac{2x-3}{e^x}

er kontinuerlig og deriverbar for alle $x \in \mathbb{R}$ .

Bestem $g'(2)$ og $g'(3)$ .

Hva forteller svarene i oppgave b om grafen til $g$ når $x \in [2, 3]$ ?

Fasit

$f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

$g'(2) = \dfrac{1}{e^2}$ , $g'(3) = -\dfrac{1}{e^3}$

$g$ har et toppunkt i $\langle 2, 3 \rangle$

Løsningsforslag

Vi skriver om $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^{1/2} + 2$ og deriverer ledd for ledd:

f'(x) = x^2 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = x^2 + \frac{1}{2\sqrt{x}}

$\underline{\underline{f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}}}$

Vi bruker kvotientsregelen på $g(x) = \dfrac{2x-3}{e^x}$ :

g'(x) = \frac{2 \cdot e^x - (2x-3) \cdot e^x}{e^{2x}} = \frac{e^x \left(2 - (2x-3)\right)}{e^{2x}} = \frac{5-2x}{e^x}

Da er

g'(2) = \frac{5-4}{e^2} = \frac{1}{e^2} \approx 0{,}14 \qquad \text{og} \qquad g'(3) = \frac{5-6}{e^3} = -\frac{1}{e^3} \approx -0{,}05

$\underline{\underline{g'(2) = \dfrac{1}{e^2} \approx 0{,}14}}$ og $\underline{\underline{g'(3) = -\dfrac{1}{e^3} \approx -0{,}05}}$

Siden $g'(2) > 0$ er $g$ stigende i $x = 2$ , og siden $g'(3) < 0$ er $g$ avtagende i $x = 3$ . Dermed må $g$ ha et toppunkt et sted i det åpne intervallet $\langle 2, 3 \rangle$ .

Sensorveiledning

Kandidaten må derivere to av leddene riktig for å få 1 poeng.

1 poeng for å derivere uttrykket og 1 poeng for å regne ut verdiene av de deriverte.

Kandidaten må kommentere fortegnet til deriverte for å få uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: derivasjon, funksjoner
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon