Derivasjon med kvadratrot av 1-2x og brøk med e

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = x^{2} + \ln x

g (x) = x \cdot \sqrt{1 - 2 x}

h (x) = \frac{x}{e^{x^{2}}}

Fasit

$f^{'} (x) = 2 x + \frac{1}{x}$

$g^{'} (x) = \frac{1 - 3 x}{\sqrt{1 - 2 x}}$

$h^{'} (x) = \frac{1 - 2 x^{2}}{e^{x^{2}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer ledd for ledd:

\frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x \frac{d}{d x} (\ln x) = \frac{1}{x}

f^{'} (x) = 2 x + \frac{1}{x}

$g (x) = x \cdot \sqrt{1 - 2 x}$ er et produkt av $u (x) = x$ og $v (x) = \sqrt{1 - 2 x} = {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Vi finner $u^{'} (x) = 1$ . For $v (x)$ bruker vi kjerneregelen med indre funksjon $1 - 2 x$ :

v^{'} (x) = \frac{1}{2} {(1 - 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2) = - \frac{1}{\sqrt{1 - 2 x}}

Produktregelen ${(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ gir

g^{'} (x) = \sqrt{1 - 2 x} + x \cdot (- \frac{1}{\sqrt{1 - 2 x}}) = \sqrt{1 - 2 x} - \frac{x}{\sqrt{1 - 2 x}}

Vi setter på felles brøkstrek:

g^{'} (x) = \frac{(1 - 2 x) - x}{\sqrt{1 - 2 x}} = \frac{1 - 3 x}{\sqrt{1 - 2 x}}

$h (x) = \frac{x}{e^{x^{2}}}$ er en brøk med $u (x) = x$ og $v (x) = e^{x^{2}}$ .

Vi finner $u^{'} (x) = 1$ . For $v (x)$ bruker vi kjerneregelen med indre funksjon $x^{2}$ :

v^{'} (x) = e^{x^{2}} \cdot 2 x

Kvotientregelen ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ gir

h^{'} (x) = \frac{1 \cdot e^{x^{2}} - x \cdot 2 x \cdot e^{x^{2}}}{{(e^{x^{2}})}^{2}} = \frac{e^{x^{2}} (1 - 2 x^{2})}{e^{2 x^{2}}} = \frac{1 - 2 x^{2}}{e^{x^{2}}}

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2022, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Produktregelen, Kjerneregelen

Innstillinger